Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Исходя из этого, легко выяснить значение первого инварианта тензора Ф:
і Sut диг
O^+ЗЇГ+ &T=dlv u
Если взять параллелепипед с ребрами dxi, dsn, dxs, параллельными осям координат, то после деформации его ребра удлинятся и сделаются равными (с точностью до бесконечно малых второго порядка)
dx,. (1 + ФО, dir2 (1 + Фаз), dx з (1 + Фаз)
Грани параллелепипеда несколько скосятся, но все-таки с точностью до бесконечно малых второго порядка его можно опять считать прямоугольным параллелепипедом. Поэтому объем его будет равен
dVj = dxidxidxа (1 + Фм) (1 + Ф22) (1 + Ф33) = = dxx dx?, daJ3 (1 + Фм + Ф22 + Ф33)
Сравнивая это выражение с первоначальным объемом параллелепипеда dV — dxi dx2 dx$
мы заключаем, что
Фп + Фм 4- Ф33 = ^^ (18)
дает относительное объемное расширение элемента.
К симметричному тензору Ф применимы все результаты §§ 26 и 27. Мы отметим только, что этот тензор во всяком случае имеет три главных взаимно перпендикулярных направления. Соответствующие главные значения тензора Ф обозначим через C1, г2, е3.
5. Тензор упругих напряжений П, как мы видели, тоже является симметричным, его главные значения обозначим через O1, о2 и о3.
Вспомним теперь закон Гука в элементарной форме: при растяжении стержня продольными силами, величина которых, рассчитанная на единицу площади поперечного сечения, равна Р, присходит относительное удлинение стержня, определяющееся по формуле
X =4 (19)
и относительное сжатие поперечных размеров стержня, определяющееся по формуле „
K = ^ (20)
Постоянные E и т. для разных материалов имеют разное значение: E называется модулем Юнга, т — коэффициентом Пуассона.
Рассматривая однородную изотропную среду, обобщим закон Гука следующим образом. Допустим, что главные значения тензора деформации и упругих напряжений связаны элементарным законом Гука. А именно, 342
афинныв ортогональные твнзор-ы
Гл. III
Ol Oa Os
E тЕ тВ
3« Зі Os
В тЕ тЕ
бз «і OJ
— В тЕ тЕ
рассмотрим главное линейное удлинение ei. Это удлинение происходит от ах, с» и аз. При этом напряжение oi даст удлинение, определяющееся по формуле (19), и 04 н O3 дадут укорочение, определяющееся по формуле (20). Мы примем еще, что все эти деформации независимы друг от друга и могут быть поэтому складываемы по принципу линейной суперпозиции. В результате получаем
(21)
Введем первые инварианты тенворов П и Ф
O1 + о3 -4- о3 = s, B1 + es -f е3 = 8 = div u (22)
Тогда формулы (21) можно записать в виде
8* = ~Е~~т---Ш- {*="'> 2, 3) (23)
Но отнесенные к главным осям тензоры Ф, П и I имеют вид
Je1 OOj Ф = < 0 34 0 } , IO О B3J
Поэтому формулы (23) приводят к соотношению между тензорами Ф ^=?1-^ (24)
которое и представляет обобщенный закон Гука.
Решим уравнение (24) относительно П. Беря предварительно от обеих частей равенства (24) первые инварианты, найдем соотношение
- (1 -f- т) а 3«
тЕ тЕ
Отсюда
8 — {т ~ 2) *. s= 0 (25)
тЕ т — 2 Воспользовавшись этим соотношением, мы без труда решим (24) относительно П:
П = Ф + . . "f-кг 81 (26)
1 -)- т ' (т 1) (т — 2)
Введем вместо т и E постоянные Ламэ р, и A, положив
FTlIl - тВ - /пп,
UjT^ = (m + l)(m-a) = К
Тогда получим
П — 2|аФ 4- XOI (28) §29
расхождение тензора
343
Получив соотношение (28) между тензорами П и Ф, мы можем теперь найти компоненты тензора напряжений в любой системе координат:
р.^ = ^ = ,,(? + ?
(29)
Зфі Ctes дхз
6. Теперь нам нетрудно будет составить основные уравнения теории упругости; из (14) видно, что достаточно для этого вычислить div П. Но из (28) ясно, что
div П = 2ц div Ф + X div (01)
и по формуле (6)
div (91) = grad 9 (ЗО)
Далее по формуле (40) § 24
2 div Ф — div+ div (V«)
но из формул (22) и (24) того же параграфа ясно, что
cfn
dt
= ii grad »і + U grad иг + U grad о« _ . ou . . du , . <Jn
(31)
Поэтому по формуле (3) будем иметь
div = aSrad"1 I aSrad"2 I 3 grad», _ d /3? ,3? de
di дхі ^ dxt ^ дх3 SrdaVari ^ axt ^ дхъ)~%
div Vu = -^ + -^ + ^ = Да (32)
Собирая все полученные результаты, приходим к выводу, что
div П = цДи + (X + ц) grad 6 (33)
Поэтому уравнение (14) может быть записано в в в де
р-5= pF + jvA u + (X+^)graddiv и (34)
7. Разберем еще вопрос об энергии деформация упругого тела. Возь-VjeM в какой-либо точке тела малый объем в форме параллелепипеда с ребрами а, Ь, с, параллельными главным направлениям тензоров деформаций а напряжений в рассматриваемой точке. Мы предполагаем,что энергия А деформации, приходящаяся на единицу объема, зависят только от элементов тензора деформации, в данном случае от ei, еа и 82. Бели 344
афинныв ортогональные твнзор-ы
Гл. III
мы хотим увеличить удлинение Bi на величину беї, оставляя без изменения еа и е3, то действующие на грани параллелепипеда силы произведут некоторую работу, и так как перемещение происходит только в направлении оси XI, то работу произведет только сила о і be на перемещении а беї; величина этой работы будет аЬсяібеї.
