Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Главный момент относительно какой-либо точки всех сил, приложенных к частицам объема, включая и силы инерции, должен равняться нулю-
22 Н. Е. Кочна 338
афинные ортогональных тензоры
Гл. IIl
Если р обозначает плотность, F — заданную внешнюю силу, приходящуюся на единицу иассы, dv/dt — ускорение, р„ — напряжение на площадку с нормалью п, то указанные условия приводят к следующим двум уравнениям:
Jp(F-I)^-HJpnflW = O (8)
v . s
I p[rx (F-I)JdF+|гх= 0 (9)
В § 22 мы уже использовали первое уравнение, чтобы показать, что
pn = Ih cos (n, х,) + P2 cos (a, Xt) + р3 cos (n, ха) (10)
откуда следовало, что упругие напряжения образуют тензор П. Но тогда на основании формулы (5) уравнение (8) можно записать в виде
J{p(F_|)+divn}^ = 0
v
Отсюда в силу произвольности объема V следует основное уравнение механики сплошной среды
P(F-|-)+divn=0 (И)
3. Покажем теперь, что тензор упругих напряжений есть симметричный тензор. Для этого преобразуем в формуле (9) поверхностный интеграл в объемный
J [rx pn] dS = Q {ГХ Pi cos (п, Жі)+ гX P2 cos (п, X2) + rxpscoe(n, x3)}dS =
o s
= Г (dfrxpi) , 9 (гXPa) а (гхра)] ^7 =
J I дх! дхг ' дха J
- S Ь (A+ A+ 56)+k X * + ? X р*+& X *} ^ =
V
= \ (rxdiv П + І1 X Pi + >2 X P2 + ia X P3) dV
V
Поэтому формула (9) дает
|{гХ [p(F-f)+divn]}rfF+^{ilXpi + I4XP2 + S3XP8J^=O
Но в силу равенства (11) первый интеграл пропадает, а второй а силу пропзвольности объема V, дает
X Pi + I2Xp2 4- іяхра = 0 (12) расхождение тензора
33»
Но легко видеть, что условие (12) есть как раз условие симметричности тензора П. В самом деле, если помножить (12) векторно на любой вектор а, то после раскрытия двойных произведений вида
(ii X Pi) ха = р, (ij -a) — і, (pi • а)
получится
Pi (4-а) + Рг (4-а) + Рз (js-a) — ii (Pi-a) —ia (pa-а)—(ps-a) = О
или
(Пс.а) - (П.а) = О
Отсюда
(Пс - П).а =0
а в силу произвольности вектора а
Пс = П (13)
Таким образом, тензор напряжений П действительно является симметричным.
4. Рассматривая упругое тело, обозначим через u = MoM вектор смещения некоторой точки M тела, где Mo — положение точки до деформации тела, M — положение после деформации. Очевидно, что вектор скорости точки M есть
v =^
dt
Поэтому уравнения (11) принимают вид
divI1 =0 <14>
Чтобы получить основные уравнения теории упругости, надо установить связь между П и н, т. е. между упругими напряжениями и деформациями тела. Эта связь устанавливается на основании обобщения элементарного закона Гука. Нам надо, однако, предварительно несколько более осветить вопрос о деформациях.
Если МЫ возьмем две соседние ТОЧКИ упругого тела Mfi и Mi, положение которых до деформации характеризовалось радиусами-векторами г и г + ей*, то после деформации положение этих точек будет характеризоваться радиусами-векторами
г' = г + н (г) г' + dr' = г + cht + и (г + dr) = г 4- dr + u + du
и, следовательно, смещение второй точки после деформации будет
и (г -I- Ж) = и + rfn = и +- Q-.dr
аг
и, применяя формулу (41) § 24,
н (г + «fr) = и + Ф.Л + i-rot uXdr (15)
22* 340
афинныв ортогональные твнзор-ы
Гл. III
Под Ф здесь подразумевается симметричная часть тензора , т. е. тензор с компонентами
Ф» = ?, Ф„-о*-J-(?. + .?)
= тЙг + їг) ^
Фзз=-^, Фи = Фз, =4-(^- + -?-)
Мы будем предполагать деформацию бесконечно малой. Но тогда вспоминая из кинематики, что бесконечно малое перемещение точки твердого тела, вращающегося около неподвижной точки с угловой скоростью ш, есть
Wdt = ladtx г
где вектор ш dt равен по величине углу поворота тела и направлен по мгновенной оси вращения, мы заключаем, что последний член в формуле (15) представляет ту часть перемещения точки Afi относительно точки Mo, которая происходит от поворота элемента тела, окружающего точку Mo, как одного целого на угол ~ [ rot U | вокруг оси, имеющей направление rot и. Первый член и формулы (15) характеризует смещение точки Mo, второй Ф-dt характеризует деформацию элемента. Мы можем поэтому высказать следующий результат.
Бесконечно малое перемещение элемента сплошной среды, определяющееся формулой (15), можно представлять себе состоящим из трех частей:
1) из поступательного перемещения элемента, как одного целого,
2) из вращательного перемещения элемента, как одного целого,
3) из деформации элемента.
Диагональные элементы симметричного тензора Ф имеют простое значение. А именно, если взять точку Mi так, что вектор dr = MuMi будет параллелен оси xi, так что dxs = dxs = 0, то после деформации вектор MbMi превратится в вектор dr -+- du с проекциями
d-r -I- f^-rfr ди» й~
и, следовательно, расстояние между точками Ma и Mi после деформации будет
где мы отбрасываем малые величины второго порядка. Относительное удлинение рассматриваемого отрезка после деформации будет, очевидно, равно
(, ЗиЛ
«Ч1 + -^-«* = а-. Л §29 расхождение тензора
341
Итак, диагональные элементы тензора Ф определяют относительнее удлинения после деформации линейных элементов, параллельных осям координат.
