Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Нетрудно теперь найти общее решение уравнения (14). 6 самом деле, положим, что
X (0 = X1 (f) Y (t) где Y (t) — новая неизвестная функция. По формуле (11) имеем
Но
(ЙС _ rfXl ~\7 . Y ^
5Г _ ЧГ * + It
^L = UX1, ^=UX=UX1Y
Следовательно, получаем
UX1Y = UX1Y + X1^ . или Xif = О
Вообще из равенства нулю произведения двух тензоров нельзя заключать, что один из них должен равняться нулю; но если один из тензоров полный, то другой непременно должен равняться нулю. Но для тензора Xi (t) = eul существует обратный тензор е~а', следовательно, но теореме § 25 Xi является полным тензором, а следовательно
ІГ-»
откуда следует, что Y есть постоянный тензор С. Итак, общим решением уравнения (14) является
X (i) = е"< С (18)
где С — постоянный тензор, а ет определено рядом (16).
Полагая в формуле (18) I = O і замечая, что в силу (16) eu 0 = I, найдем, что
X (0) = С (19)
так что тензор С представляет начальное значение тензора X.
В. Дадим несколько примеров для того, чтобы иллюстрировать сказанное в предыдущем пункте. В качестве первого примера установим выражение для тензора поворота.
Рассмотрим вращение твердого тела около неподвижной точки, которую мы примем за начало координат О. Пусть это вращение происходит около неподвижной в пространстве оси с угловой скоростью О), так что вектор угловой скорости есть а». Тогда скорость какой-либо точки Л/,§ 28 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРА HO СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ 328*
радиус-вектор которой есть г, выразится по формуле
dt
V = WXI, или ^ = ШХГ (20>
Проведем в теле три взаимно перпендикулярные оси, которые в начальный момент і = О совпадают с неподвижными осями координат и имеют орты ilt i2f i3, а затем вращаются вместе с телом и к моменту і имеют орты P1 (?), ра (г), р3 (t). Тогда тензором поворота мы должны назвать, тензор
п = P1 (/) h + P2 (t) І2 + Рз (г) is (21>
В самом деле, если мы рассмотрим в теле радиус-вектор r какой-либо точки М, вращающейся вместе с телом, и если в начальный момент і — О' мы имели
'о = xIiI + + Яз'з
ТО В момент t, когда орты I1, І2, І3 перешли В P1, р2, р3, мы должны; иметь
r = S1P1 + X2P2 + .Z3P3
так как координаты X1, Xs, Xs точки M относительно подвижных осей должны оставаться неизменными. Но из (21) очевидно, что
Під = рг (і), Піа = р, (t), ПІ3 = P3 (0 (22 >
и, следовательно, как легко уяснить себе,
Пг0 = г (23у
Итак, всякий радиус-вектор г0 после поворота, осуществляемого тензором П, переходит в радвус-вектор г.
Запишем теперь уравнение (20) в следующем виде
(24)
где, согласно формулам (37) и (38) § 24, А обозначает антисимметричный, тензор
10-ОМ <02 )
<в3 0 — сої 1 (25)'
— CDa 01 ОI
Уравнение (24) применимо к любому вращающемуся вместе с телом, вектору, в частности применимо к векторам Pi (г), р2 (г), рз (4-
%-Api. Ir=Ap2, $ = APs Из этих равенств легко вывести следующее
^4 + ?? + ^ia= (А.р,) I1 +(A-P2) i2 + (А.Рз) i3 = з* A.(Pji1 -I- р3ц -I- Pjia) == AIJ^330
ЛФИННЫВ ОРТОГОНАЛЬНЫ» ТЕНЗОРЫ
Гл. Ш
или, в силу формулы, аналогичной формуле (6)
|? = АП (26)
Итак, тензор поворота П удовлетворяет дифференциальному уравнению (26), где А есть постоянный антисимметричный тензор (25). Применяя к решению уравнения (26) теорию предыдущего пункта, получим, что
П (/) = (27)
где С есть начальное значение тензора поворота, т. е. C = I (так как в начальный момент векторы P1 (i), р2 (?) и р8 (1) совпадают с векторами 'і, 's. із. а г = г0).
Итак, для тензора поворота мы получаем выражение
П (0 = Sju (28)
Представим его в другой форме. Прежде всего по формуле (16) будем иметь
= I + + (29)
Заметим далее, что, как нетрудно вычислить, инвариантами тензора Л являются
I1 = 0, I2 = со8, I3 = 0 .и поэтому, согласно задаче 191
As + юаА = 0
Впрочем это последнее равенство нетрудно проверить и непосредственно. Из него легко вывести, что
A3 = — M2A1 A4 — — согАг, A5 = <а4А, Ae = co4As, A7=-W6A, . , . Поэтому ряд (29) получает следующую форму
тт і,*/4 иЧ* , <й4«5 0.4' . \ , .,/4а О)2«1 , ша1а \
П- 1 + А(т--зі I a---7Г +•••) + А (гТ--4Г + Sl----O
Принимая теперь во внимание известные из анализа ряды
. , .V <ot «А8 , to5«» <o't' , Sln (col) = -j---Щ- + -5І---fr
, .4 . eft* , (В4«1 а>*Р , COS (COi) = 1 _ + _---gj- +.. -
легко преобразовать предыдущее равенство к следующему виду:
n = I + A-g^ + A* 1^smt (30)
В целях дальнейших преобразований обозначим угол поворота tat -через ф, а единичный вектор, имеющий направление оси вращения через и, так что и = сип.§ 28 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРА HO СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ 328*
Если мы согласно правилу пункта 5 § 24 будем составлять Ixw, то получим
IxtB= foil 4- ці2 + Ms)Xw = I1 (iixw) + ia (іахю) + із (isX<u) =
О — <DS <D2 \
(Из 0 — <m J = A (31)
— «02 0)1 0 j
Чтобы вычислить Aa, заметим, что
Ar = «о X г (32)
Поэтому
А2г = A.Ar = A.(wxr) = «ох (в>хг) = W (w-r) - w2r
Отсюда следует, что
A2 = cow — W2I = W3 (пп — I) (33)
Принимаи все это во внимание, получим