Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кочин Н.Е. -> "Векторное исчисление и начала тензорного исчисления " -> 109

Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления — М.: Наука , 1965. — 427 c.
Скачать (прямая ссылка): vektornoeischeslenieinachalo1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 144 >> Следующая


Нетрудно теперь найти общее решение уравнения (14). 6 самом деле, положим, что

X (0 = X1 (f) Y (t) где Y (t) — новая неизвестная функция. По формуле (11) имеем

Но

(ЙС _ rfXl ~\7 . Y ^

5Г _ ЧГ * + It

^L = UX1, ^=UX=UX1Y

Следовательно, получаем

UX1Y = UX1Y + X1^ . или Xif = О

Вообще из равенства нулю произведения двух тензоров нельзя заключать, что один из них должен равняться нулю; но если один из тензоров полный, то другой непременно должен равняться нулю. Но для тензора Xi (t) = eul существует обратный тензор е~а', следовательно, но теореме § 25 Xi является полным тензором, а следовательно

ІГ-»

откуда следует, что Y есть постоянный тензор С. Итак, общим решением уравнения (14) является

X (i) = е"< С (18)

где С — постоянный тензор, а ет определено рядом (16).

Полагая в формуле (18) I = O і замечая, что в силу (16) eu 0 = I, найдем, что

X (0) = С (19)

так что тензор С представляет начальное значение тензора X.

В. Дадим несколько примеров для того, чтобы иллюстрировать сказанное в предыдущем пункте. В качестве первого примера установим выражение для тензора поворота.

Рассмотрим вращение твердого тела около неподвижной точки, которую мы примем за начало координат О. Пусть это вращение происходит около неподвижной в пространстве оси с угловой скоростью О), так что вектор угловой скорости есть а». Тогда скорость какой-либо точки Л/, § 28 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРА HO СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ 328*

радиус-вектор которой есть г, выразится по формуле

dt

V = WXI, или ^ = ШХГ (20>

Проведем в теле три взаимно перпендикулярные оси, которые в начальный момент і = О совпадают с неподвижными осями координат и имеют орты ilt i2f i3, а затем вращаются вместе с телом и к моменту і имеют орты P1 (?), ра (г), р3 (t). Тогда тензором поворота мы должны назвать, тензор

п = P1 (/) h + P2 (t) І2 + Рз (г) is (21>

В самом деле, если мы рассмотрим в теле радиус-вектор r какой-либо точки М, вращающейся вместе с телом, и если в начальный момент і — О' мы имели

'о = xIiI + + Яз'з

ТО В момент t, когда орты I1, І2, І3 перешли В P1, р2, р3, мы должны; иметь

r = S1P1 + X2P2 + .Z3P3

так как координаты X1, Xs, Xs точки M относительно подвижных осей должны оставаться неизменными. Но из (21) очевидно, что

Під = рг (і), Піа = р, (t), ПІ3 = P3 (0 (22 >

и, следовательно, как легко уяснить себе,

Пг0 = г (23у

Итак, всякий радиус-вектор г0 после поворота, осуществляемого тензором П, переходит в радвус-вектор г.

Запишем теперь уравнение (20) в следующем виде

(24)

где, согласно формулам (37) и (38) § 24, А обозначает антисимметричный, тензор

10-ОМ <02 )

<в3 0 — сої 1 (25)'

— CDa 01 ОI

Уравнение (24) применимо к любому вращающемуся вместе с телом, вектору, в частности применимо к векторам Pi (г), р2 (г), рз (4-

%-Api. Ir=Ap2, $ = APs Из этих равенств легко вывести следующее

^4 + ?? + ^ia= (А.р,) I1 +(A-P2) i2 + (А.Рз) i3 = з* A.(Pji1 -I- р3ц -I- Pjia) == AIJ ^330

ЛФИННЫВ ОРТОГОНАЛЬНЫ» ТЕНЗОРЫ

Гл. Ш

или, в силу формулы, аналогичной формуле (6)

|? = АП (26)

Итак, тензор поворота П удовлетворяет дифференциальному уравнению (26), где А есть постоянный антисимметричный тензор (25). Применяя к решению уравнения (26) теорию предыдущего пункта, получим, что

П (/) = (27)

где С есть начальное значение тензора поворота, т. е. C = I (так как в начальный момент векторы P1 (i), р2 (?) и р8 (1) совпадают с векторами 'і, 's. із. а г = г0).

Итак, для тензора поворота мы получаем выражение

П (0 = Sju (28)

Представим его в другой форме. Прежде всего по формуле (16) будем иметь

= I + + (29)

Заметим далее, что, как нетрудно вычислить, инвариантами тензора Л являются

I1 = 0, I2 = со8, I3 = 0 .и поэтому, согласно задаче 191

As + юаА = 0

Впрочем это последнее равенство нетрудно проверить и непосредственно. Из него легко вывести, что

A3 = — M2A1 A4 — — согАг, A5 = <а4А, Ae = co4As, A7=-W6A, . , . Поэтому ряд (29) получает следующую форму

тт і,*/4 иЧ* , <й4«5 0.4' . \ , .,/4а О)2«1 , ша1а \

П- 1 + А(т--зі I a---7Г +•••) + А (гТ--4Г + Sl----O

Принимая теперь во внимание известные из анализа ряды

. , .V <ot «А8 , to5«» <o't' , Sln (col) = -j---Щ- + -5І---fr

, .4 . eft* , (В4«1 а>*Р , COS (COi) = 1 _ + _---gj- +.. -

легко преобразовать предыдущее равенство к следующему виду:

n = I + A-g^ + A* 1^smt (30)

В целях дальнейших преобразований обозначим угол поворота tat -через ф, а единичный вектор, имеющий направление оси вращения через и, так что и = сип. § 28 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРА HO СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ 328*

Если мы согласно правилу пункта 5 § 24 будем составлять Ixw, то получим

IxtB= foil 4- ці2 + Ms)Xw = I1 (iixw) + ia (іахю) + із (isX<u) =

О — <DS <D2 \

(Из 0 — <m J = A (31)

— «02 0)1 0 j

Чтобы вычислить Aa, заметим, что

Ar = «о X г (32)

Поэтому

А2г = A.Ar = A.(wxr) = «ох (в>хг) = W (w-r) - w2r

Отсюда следует, что

A2 = cow — W2I = W3 (пп — I) (33)

Принимаи все это во внимание, получим
Предыдущая << 1 .. 103 104 105 106 107 108 < 109 > 110 111 112 113 114 115 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed