Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
/31 - z2n + Zjna - П! = О
что и составляет требуемое тождество. Задача 192. Разлагая тензор
IPll Pia Pisl Psi Ps2 Pas I Psi Ряэ Рзз)
на симметричную и антисимметричную части, мы можем сопоставить последней, как указано в § 23, аксиальный вектор ш. Показать, что
—2ш = j - JU32) I1 + (рзі — Piз) i2 + (Pia — Раї) із = >i X P1 + I2 X P а + із X P3
Показать далее, что для любого представления тензора П в виде суммы трех диад: П = q^ + q2r2 + qsr3 имеет место равенство
— 2ш = 1iX*i+ q2xra + qaxr3
и что обращение вектора (о в нуль есть необходимое и достаточное условие симметричности теизора. Отметим попутно, что квадрат величины вектора а) является, очевидно, тоже инвариантом тензора П.
§ 28. Дифференцирование теизора по скалярному аргументу
1. Переходя к изучению переменных тензоров, мы, как и в векторном анализе, начнем с рассмотрения того случая, когда независимой переменной является скалярный аргумент t, например, время. Итакі пусть нам задан тензор П (?), изменяющийся вместе с і и представляющий некоторую функцию t. Как всегда, задание тензора П (і) может быть существлено или при помощи задания его девяти составляющих:
(Pu(i) PiAt) Pi3 (т П (i) = I Pai M Paa W Paa {0 > (1)
1 Рзі С) Pза (0 Рзз (Ї) J
в функции времени или же при помощи задания в диадной форме
П (t) = I1 рг(<) + i2 Pi(I) + i3 p3(t) (2)
или в более общей диадной форме
П (t) = Чі (і) T1 (t) + q2 (i)r2 (t) + q3 (t)r2 (t) (3) 326
АФИННЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
ГЛ. Tll
Не останавливаясь на понятии непрерывности функции, понятии предела и т. п. понятиях, которые могут быть введены совершенно так же, как в обычном анализе, мы сразу дадим определение производной от переменного тензора П (?) по скалярному аргументу і.
Производной тензора П по скалярному аргументу t называется предел отношения изменения тензора к приращению независимой переменной, когда это последнее стремится к нулю:
<§ _ Iim де + дд-пю
м Д!-м) at
Конечно, мы всегда будем предполагать, что те производные, с которыми нам надо будет иметь дело, существуют и непрерывны.
Ясно, что если тензор П задан в форме (1), то в силу правил вычитания тензоров и деления на скалярный множитель мы легко получим следующее представление производной от тензора (точка обозначает для краткости дифференцирование по і):
ДІ dt
(5)
рїї (t) pis (t) різ (t)
pn (t) pi2 (?) pz3 (г)
рзі (t) рзг (і) раз (г)
Таким образом, составляющие производной от тензора по скалярному аргументу равны производным от соответствующих составляющих этого тензора. Бели же тензор П представлен в форме (2) или (3), то в результате дифференцирования его соответственно получим
~ = iiPi (0 + hi>2 (О + ізРз (0 (6)
зг = <ь W '1W + qiW г. W + q2 (0 *» W + q2 <t) г2 (t) +
+ iW».(0+qз(0's (0 (7)
Доказательство этих формул, основанное на элементарных правилах действий с диадами, не представляет ни малейших затруднений.
Легко далее видеть, что все основные свойства производных сохраняются н для производных от тензоров.
Мы выпишем в качестве примера несколько формул. Так, например, ясно, что
d (? + Па) (UI1 Iin2 й
-di—¦ = ЧГ + Ж (8)
d (тП) dm „ , ііП ,m
-^ = dtn+mdT (9)
где т — скалярная функция от f.
Если П — тензор, а а — вектор, зависящие от і, то, как нетрудно вывести,
(Ю) дифференцирование тензора по скалярному аргументу 327
Аналогичная формула имеет место и для производной от Пха. Если II1 и Па два переменных тензора, то
d (ПіШ) _ Л1,п п dttt ....
—di--іГПа+Пі-ЇГ (11)
Выведем еще формулу для дифференцирования обратного тензора. Пусть П (г) есть полный переменный тензор, так что определитель этого тензора D (П) отличен от нуля и пусть П-1 есть обратный ему тензор, так что
ПП"1 = I (12)
Продифференцируем предыдущее равенство по f. Имеем
так как Г — постоянный тензор. Отсюда
hdn"1__^ti-*
dt ~~ dt
Умножим теперь обе части этого равенства слева на П"1; замечая еще, что П-1П = I1 получим требуемую формулу
sSi--n-gn- (13)
2. Некоторые задачи приводят к необходимости решать дифференциальные уравнения, в которых неизвестными являются тензоры. Мы рассмотрим простейший пример таких уравнений, а именно уравнение
Sr = UX (14)
где X (t) есть искомый тензор, зависящий от ?, a U — заданный постоянный тензор.
Если бы нам было дано обыкновенное уравнение
dx
— = ах dt
где а — постоянное число, то решением его была бы функция
Z= е* = 1 + at +?:+?? + . . . (15)
Попробуем поэтому проверить, не будет ли сумма ряда тензоров
X1(I)-I +№ + ?!+?!... (16)
которую, по аналогии с суммой ряда (15), обозначают просто через
X1 (t)-в«' (17)
решением уравнения (14). 328
аФИННЫе ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
ГЛ. Tll
Дифференцируя ряд (16) по і, мы получим, что
откуда видно, что действительно функция (17) удовлетворяет уравнению (14). При атом рассуждении мы молчаливо предполагали, что ряд (16) сходится и что его можно дифференцировать по t; все это без труда можно доказать, но мы не хотим на этом останавливаться.
