Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
Скалярное произведение П.г имеет простое геометрическое значение. А именно докажем, что если вектор г оканчивается в точке M поверхности (4), то вектор
n = П.г (7)
имеет направление нормали к плоскости, касательной к поверхности в точке М.
В самом деле, если точка М, оставаясь на поверхности, испытает бесконечно малое смещение, то радиус-вектор г получит бесконечно малое приращение dr, лежащее в касательной плоскости к поверхности в точке М. При этом мы будем иметь
ф-(П-г)] = О
(ибо па поверхности г.(П г) = 1), или
dt (П.г) + г-(П-dr) = О
Но по основному свойству симметричных тензоров оба слагаемых равны, следовательно
drri = О
т. е. вектор гі перпендикулярен к любому направлению, лежащему в касательной плоскости к поверхности в точке М, что и требовалось доказать. Впрочем это обстоятельство непосредственно вытекает из формулы (36) § 24.
Так как г.гі = 1, топ-CW = 1; откуда для величины вектора П-г получаем выражение
r^m <8>
Задача 1S5. Показать, что для антисимметричного тензора А имеет место равенство
Ь-(А-а) 4- а.(А-Ь) = О
для любых векторов а и Ь.
Задача 186. Во что переходит поверхность г-г = 1 при преобразовании г' = П-г, где П полный тензор?
Ответ. В эллипсоид г'-Tr' = 1, где T = П^П"1. 320
АФИННЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ
ГЛ. Tll
§ 27. Главные оси тензора. Главные значения тензора.
Инварианты тензора
1. Рассмотрим какой-либо тензор П и пусть
П.а = Ь
Если вектор b коллинеарен вектору а, т. е. если вектор а после преобразования изменяет только свою величину, не изменяя своего нанравления, то направление вектора а называется главным направлением тензора. Если при этом Ь = Xa, то величина X называется главным значением тензора. Оно показывает, во сколько раз тензор увеличивает векторы, направленные по главным осям тензора; направление таких векторов тензор не меняет. Мы воспользуемся этой коллинеарностью векторов а и Ь = П-а для отыскания главных значений и главных осей тензора.
Итак, пусть тензор задан в некоторой системе координат своими компонентами pki и пусть а имеет главное направление, которому отвечает главное значение X, тогда по самому определению
П.а = Xa (I)
что равносильно трем уравнениям
PuaI + Рігаг + Різаа = Xa1
PaaI + /?? + Paa я — ^Ot (2)
PaiaI + Pitat + PaaaS ~ ^aS
Получились три линейных однородных уравнения относительно ai, at, аа. Эта система уравнений может иметь решение, отличное от нуля, только если ее определитель равен нулю
Pu — * Pit Pu
Pti Pt і — ^ Pts
Раї Рзг P зз —
= 0 (3)
Из получелного кубического уравнения нужно определить X, а тогда из системы (2) можно определить отношения ai : аг : аз, т. е. главное направление тензора, отвечающее взятому корню X уравнения (3).
2. В случае симметричного тензора П мы сопоставляли ему поверхность
PiiZi2 + PttXt + Pss*s + 2pu*iXt + ^pisXtX3 + Zp3lX3Xl = 1
(4)
причем указывали, что поверхность эта не зависит от выбора координат.
Но известно, что уравнение (4) надлежащим выбором осей Xx, ^2, можно привести к виду
X1X12 + X2X22 + X3X32 = 1 (5) главные оси тензора
321
Таким образом, в этой системе координат все элементы тензора, кроме диагональных, обращаются в нуль и сам тензор принимает простейший вид
[X1 0 Oj П = I 0 Xa 0 I (6)
[О О X8 J
В соответствии с этим и преобразование вектора b = П-а будет иметь весьма простой вид
t>! = Xja1, b2 — Х2а2, b3 — X8O3 (7)
Очевидно, что для симметричного тензора направления осей S1, Z2 и X3 являются главными направлениями, а величины Xi, Xs и Хэ — соответствующими главными значениями.
В случае симметричного тензора существуют, таким образом, три главных направления и три главных значения, так что уравнение (3) имеет при pki = pik три вещественных корня.
В качестве примера рассмотрим преобразование
1 = J-CO (8)
определяющее главный момент количеств движения твердого тела, вращающегося около О, взятый относительно начала координат, через угловую скорость се. Беря за оси координат главные оси эллипсоида инерции и обозначая через Zi, Ji, J3 главные моменты инерции, будем иметь
I1 = Z1CO1, I1 = /гсо21 Ia = J3 Co3 (9)
Применим уравнения (9) для вывода уравнений Эйлера для вращения твердого тела около начала координат из закона моментов количеств движения
S = L (Ю)
где L есть главный момент внешних сил относительно начала координат. Так как мы хотим относить движение к главным осям эллипсоида инерции, неподвижно связанным с твердым телом, то для вычисления dl/dt мы должны воспользоваться формулой (12) § 10:
(її), = ЗГ + 0)2/8 — m^2 н т' д* (11)
Составляем уравнения (10), подставляя в них вместо d\!dt выражения (11), в которые, в свою ечередь, вставлены значения (9) для 1:
J.** +{/, -./„Wo, =L2 (12)
J3 jf + (J2 — Z1) (U1O)2
24 Н. Е. Качка 322
афинные ортогональные тензоры
Гл. Ul
Уравнения (12) и называются уравнениями Эйлера вращения твердого тела около неподвижной точки,
3. Возвращаясь к общему тензору П, развернем кубическое уравнение (3) но убывающим степеням X:
