Векторное исчисление и начала тензорного исчисления - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
ч = Щ, г' = Yt1
где Tj — вектор с составляющими Tjll г)2, r)s, причем ось Oti1 совпадает с ON, а ось От]з с осью Oxз', a и T — тензоры
f1
O O I cos ф sin ф O
cos O sin O , ? = J- sin ф cos ф O
sin O cos O і о O 1
О
[о -«
В результате мы получаем окончательное преобразование
г' = ТЭФг
и так как оно должно совпадать с преобразованием
я/ = aIi^i "+* Oj2X2 + OiaX3 x2' = o2jx1 + o-vtxik + a jot3 X3' = OaiXi + а32х2 + (Z113X3
то мы получаем возможность, составив произведение трех тензоров Т9Ф по формулам (5), вычислить все девять косинусов OEAt-
Оц = cos (р cos ф — Oj2 = sin (р cos ф -Ь Oti3 = Sia ф sin 0
— sin <p sin ф cos O + COS ф sin ф cos 0
o21 = — cos (p sin ф — O22 = — sin ф sin ф 4- O28 = cos ф sin 8
— sin (p cos ф cos 8 + cos (p cos ф cos O
®si = sin ф sin O a32 = — cos (p sin 9 а33 = cos 9 симметричные тензоры
317
Задача 178. Доказать симметричность тензора ПП,.. Задача 179. Доказать, что (П,.)"1 = (П"1),..
Задача 180. Показать, что всякому тензору П можно сопоставить тензор П*, обладающий тем свойством, что для любых двух векторов OHV имеет место равенство
n*.(uxv) = (Пи) X (IIv)
Найти выражение тензора П* в диад ной форме, если
П = IiPi + i2p2 + 'аРз = Piii + Pa's + Ps's
Ответ. П* = (р2 X Рз) + (PsXPi)i2 + (Pi X Pa) >а Задача 181. Показать, что
ПСП* = D (П) I
и, исходя 'отсюда, найти выражения для составляющих {П*}и тензора П*. Ответ. {П*}„ = Pkl, где Pm — величины, определенные в п. 3-Задача 182. Показать, что D (П*) = [D (П)Р. Задача 183. Показать, что если I1, i2, i3 — орты, направленные по осям X1, х2, хл, a I1', ц', i3' — орты, направленные по взаимно перпендикулярным осям X1', X2', х3' (фиг. 90), имеющим'ту же ориентацию, что и оси X1, х2, х3, то тензор поворота П может быть представлен в форме П = ції' + і2і2' + із'з-
Задача 184. Показать, что если ППС = I и D (П) > 0, то П есть тензор поворота.
§ 26. Симметричные тензоры. Тензорный эллипсоид
1. Рассмотрим симметричный тензор П, так что его элементы удовлетворяют соотношениям
ры = рік (ft, г = 1,2.3) (1)
Докажем следующее важное свойство симметричных тензоров:
Ь-(П-а) = а-(П-Ь) (2)
т. е. скалярное произведение из b и скалярного произведения симметричного тензора П на вектор а не меняется при перестановке векторов а ib. В самом деле
зз зз
Ь.(П-а) =2 2 PiiaI =SS Pkihai
*=l l=k K=I I=I
я а 3 3
а.(П.Ь) =2 «/ 2 PlA =SS PlkbkBI
I=I к= 1 Jr=I !=1
и в силу (1) оба выражения равны. 318
афинные ортогональные тензоры
ГЛ. Tll
2. Симметричные тензоры донусиают интересную геометрическую интерпретацию, к изложению которой мы и переидем.
Заметим, что вектор а можно графически представить не только направленным отрезком (как обычно), но и плоскостью
а-г = 1 (3)
где г — радиус-вектор переменной точки (фиг. 91). В самом деле, так-как а-г — ara = 1, то ra = т. е. геометрическое место
концов радиусов-векторов, исходящих из начала координат и удовлетворяющих уравнению (3), есть плоскость, перпендикулярная вектору а и отстоящая от начала координат на расстоянии Поэтому вектор а перпендику-
Фиг. 91 лярен к плоскости (3) и имеет длину, обратную расстоянию пачала координат до этой плоскости. На прямой, проходящей через начало координат и имеющей направление п, плоскость (3) отсекает отрезок длины р = — .
Будем аналогично поступать с симметричным тензором П. Рассмотрим поверхность
г-(П.г) = 1 (4)
где г — радиус-вектор переменной точки. Производя перемножение, для левой части уравнения (4) найдем выражение
р = Pn ^i2 + + + 2Pi2ZA + Zpi3XiX3 + 2 P31X3X1 = 1 (5)
Таким образом, мы имеем дело с поверхностью второго порядка, имеющей центр (фиг. 92). По самому способу получепия поверхность эта не зависит от выбора системы координат. Найдем точки пересечения этой иоверхности с координатными осями. На оси Ox1 имеем Xa = х3 = О, поэтому
= + т==
— Vp1I
Но так как всякий радиус, исходящий из фиг. 92
начала координат и имеющий направление а, может быть взят за ось х\, то, значит, этот радиус пересекает поверхность (4) в точке, отстоящей от начала координат на расстоянии
1
VTn
(6)
Таким образом, если на каждой прямой, проходящей через начало координат, отложить отрезок, обратный корню квадратному из р„п, то геометрическое место концов этих отрезков даст поверхность второго порядка (5). Если для всякого направления п воличина рлп ноложитель- симметричные тензоры
319
на — случай, наиболее важный в приложениях,— поверхность (5) будет, очевидно, эллипсоидом, ибо все р будут ограничены. Поэтому уравнение (5) называется уравнением тензорного эллипсоида (хотя оно может представлять и другие поверхности второго порядка). Бели тензор есть тензор моментов инерции, ТО Pnn — Jnn, т, е. рпп есть в этом случае момент инерции относительно оси о, величина всегда положительная, поэтому, строя по указанному выше правилу поверхность, мы получаем эллипсоид инерции.
Если для некоторых направлений р„п принимает отрицательные значения, то в правых частях формул (4) и (5) можно вместо 1 брать ±1, а в правой части формулы (6) вместо рт брать | рпп |.
