Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Коблиц Н. -> "Курс теории чисел и криптографии" -> 91

Курс теории чисел и криптографии - Коблиц Н.

Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии — Москва: Научное изд-во ТВП, 2001. — 254 c.
Скачать (прямая ссылка): theory-chisel-kriptographii.djvu
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 125 >> Следующая


( 3x1 + а\ X3 = - - 2zi,

V 2УХ ) (5)

3^1 + а

Уз = -2/1 + —^-(xi - х3).

2j/i

2 з

Пример 2. На эллиптической кривой у = х — 36х пусть P = (-3,9) taQ = (-2,8). Найти P + Q и 2Р.

Решение. Подстановка X1 = -3,j/i = 9, X2 = -2,у2 = 8 в первое из уравнений (4) дает X3 = 6; тогда второе из уравнений (4) дает у3 = 0. Далее, подставляя X1 = —3,у\ = 9, а = -36 в первое из уравнений (5), получаем для ж-координаты точки 2Р значение 25/4, а второе из уравнений (5) дает для у-координаты значение —35/8.

192

ГЛ. VI. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ

Существует несколько способов доказать, что принятое выше определение P + Q превращает множество точек на эллиптической кривой в абелеву группу. Можно использовать результаты из проективной геометрии, из комплексного анализа двоякопериодических функций или алгебраическое доказательство, использующее теорию дивизоров на кривых. Доказательства каждого из этих типов можно найти по ссылкам в конце параграфа.

Если п — целое число, то, как и в любой абелевой группе, пР обозначает сумму п точек P при п > 0 и сумму |тг| точек — Р, если п < 0.

Мы пока что мало сказали о «точке в бесконечности» О. По определению, это — тождественный элемент группового закона. На рисунке (см. выше) следует себе представлять ее расположенной на оси у в предельном направлении, определяемом все более «крутыми» касательными к кривой. Она является «третьей точкой пересечения» с кривой для любой вертикальной прямой: такая прямая пересекается с кривой в точках вида (zi,3/i),(zi,-J/i) и О. Мы изложим сейчас более естественный способ введения точки О.

Под проективной плоскостью мы понимаем множество классов эквивалентности троек (X,Y, Z) (не все компоненты равны нулю), при этом две тройки называются эквивалентными, если одна из них — скалярное кратное другой, т.е. (XX, XY, AZ)/~ (X,Y,Z). Такой класс эквивалентности называется проективной гігочкой. Если проективная точка имеет ненулевую компоненту Z, то существует, причем только одна, тройка в ее классе эквивалентности, имеющая вид (х, у, 1): просто полагаем х = X/Z,y = Y/Z. Тем самым проективную плоскость можно представить как объединение всех точек (х,у) обычной («аффинной») плоскости с точками, для которых Z = O. Эти последние точки составляют то, что называется бесконечно удаленной прямой; наглядно ее можно себе представить на плоскости как «горизонт». Любому алгебраическому уравнению F(x,y) = 0 кривой в аффинной плоскости отвечает уравнение F(X, Y, Z) = 0, которому удовлетворяют соответствующие проективные точки: нужно заменить х на X/Z, у — на Y/Z и умножить на подходящую степень Z, чтобы освободиться от знаменателей. Например, если применить эту процедуру к аффинному уравнению (1) эллиптической кривой, то получится «про-

2 3 2 3

ективное уравнение» YZ = X+ аХ Z + bZ . Этому уравнению удовлетворяют все проективные точки (X,Y,Z) с Z ф 0, для которых соответствующие аффинные точки (х,у), где X = X/Z,y = Y/Z, удовлетворяют (1). Помимо них, какие еще точки бесконечно удаленной прямой удовлетворяют последнему уравнению? Если положить

§ 1. ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ

193

в уравнении Z = 0, то уравнение примет вид X = О, т. е. X = 0. Но единственный класс эквивалентности троек cX = 0,Z = 0 — это класс тройки (0,1,0). Это и есть точка, которую мы обозначили О; она лежит на пересечении оси у с бесконечно удаленной прямой.

Эллиптические кривые над комплексными числами. Алгебраические формулы (4)-(5) для сложения точек на эллиптической кривой над вещественными числами на самом деле имеют смысл над любым полем. (В полях характеристики 2 или 3 можно вывести аналогичные равенства, исходя из уравнений (2) или (3).) Можно показать, что эти формулы выражают закон абелевой группы на эллиптической кривой над любым полем.

В частности, пусть E — эллиптическая кривая, определенная над полем С комплексных чисел, т.е. E — множество пар (х,у) комплексных чисел, удовлетворяющих уравнению (1), вместе с точкой в бесконечности О. Мы называем E «кривой», однако с точки зрения обычных геометрических представлений она двумерна, т. е. представляет собой поверхность в 4-мерном вещественном пространстве, координатами в котором являются действительные и мнимые части X и у. Покажем теперь, как можно наглядно представить себе E в качестве поверхности.

Пусть L — решетка в комплексной плоскости. Это означает, что L — абелева группа, состоящая из всех целочисленных линейных комбинаций двух данных комплексных чисел W1 и W2 (где W1 и W2 «заметают» плоскость, т. е. не лежат на одной прямой, проходящей через начало координат): L = Zw1 + Zw2. Например, если W1 = l,w2 = г, то L — множество всех гауссовых целых чисел, т. е. квадратная сетка, состоящая из всех комплексных чисел с целыми действительными и мнимыми частями.

Если задана эллиптическая кривая (1) над комплексными числами, то, как оказывается, существуют решетка L и функция комплексного переменного, называемая «р-функцией Вейерштрасса» и обозначаемая Pl(z), со следующими свойствами:

1. p(z) аналитична всюду, кроме точек L, в каждой из которых имеет полюс второго порядка;
Предыдущая << 1 .. 85 86 87 88 89 90 < 91 > 92 93 94 95 96 97 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed