Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Коблиц Н. -> "Курс теории чисел и криптографии" -> 43

Курс теории чисел и криптографии - Коблиц Н.

Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии — Москва: Научное изд-во ТВП, 2001. — 254 c.
Скачать (прямая ссылка): theory-chisel-kriptographii.djvu
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 125 >> Следующая


21. Сколько существует аффинных шифрующих преобразований для биграмм в JV-буквенном алфавите? Сколько их при N = 26, 29, 30?

22. Предположим, что надо найти дешифрующую матрицу A-1 Є А/г (Z/NZ)* по уравнению P = А~1С, где P и С получены из двух известных пар биграмм открытого и шифрованного текстов. Пусть НОД (det С, N) = р, где р — простое число, только первая степень которого делит N. Положим п = N/p.

а) Найти число вариантов для .4-1, остающихся при решении сравнения P = A-1C (mod п) с учетом того, что р /det /I-1.

б) Предположим, что не все элементы матрицы С делятся на р. Как можно воспользоваться сравнением P = A-1C (mod р) для уменьшения числа вариантов значений Л-1? Сколько вариантов остается после этого? В упражнениях 8 и 15 это применялось в случае р = 2.

23. Требуется определить шифрующую 2х2-матрицу А по модулю 30. Имеется две пары биграмм открытого и шифрованного текстов в 30-буквенном алфавите, которые позволяют записать соотношение .4P = С (mod 30), где

а) Используя приведение по модулю 10, записать матрицу А в виде А = Aq + 10Ai (mod 30), где А\ — неизвестная матрица по модулю 3 (с 0, 1 и 2 в качестве элементов) и .4о — матрица, получаемая в результате вычислений по модулю 10. Выбрать Ao так, чтобы все ее элементы лежали между 0 и 29 и делились на 3.

б) Используя приведение по модулю 3, найти второй столбец матрицы Ai.

в) Сколько есть вариантов для исходной матрицы А? Перечислить их. 24. Пусть

— матрица линейного шифрующего преобразования биграмм ЛГ-буквенного алфавита. Под неподвижной биграммой матрицы А мы понимаем биграмму-вектор Р, которому соответствует вектор шифртекста С = Р, т. е. AP = Р. В этом упражнении предполагается, что матрица А не является единичной. (Нет ведь никакого смысла рассматривать шифрующее преобразование, которое ничего не скрывает.)

90

ГЛ. III. КРИПТОГРАФИЯ

а) Показать, что биграмма «AA»= (°) всегда неподвижна. Какой должна быть матрица

для того, чтобы «АА» была ее единственной неподвижной биграммой?

б) Пусть .V — простое число и «АА» — не единственная неподвижная биграмма. Доказать, что имеется ровно jV неподвижных биграмм.

25. Перехвачено сообщение

« W UXHU RW ZXQR XVUEXU! JHALGQGJ?»,

которое зашифровано аффинным преобразованием векторов в 841-буквенном алфавите. Здесь числовыми эквивалентами биграмм являются числа х = 29хі +х%, где Xi — эквивалент первой и 12 — эквивалент второй букв биграммы (29 букв алфавита занумерованы, как в упражнении 9). Таким образом, каждый блок из четырех букв дает столбец две первые буквы дают целое х, а две другие

дают у. Известно также, что последние 12 букв приведенного выше шифртекста отвечают подписи «HEADQUARTERS».

а) Найти дешифрующее преобразование и прочитать сообщение.

б) Найти шифрующее преобразование и построить шифрованное сообщение от имени штаба следующего содержания: слова «CANCEL LAST ORDER!» после двух пробелов сопровождаются подписью «HEADQUARTERS».

26. Сколько имеется аффинных шифрующих преобразований в ситуации упражнения 25 (с 841-элементным алфавитом биграмм)?

27. Сколько имеется аффинных шифрующих преобразований для триграмм (векторов из 3 элементов) 26-буквенного алфавита?

28. Перехвачено сообщение

«FB RT LWU G A JQIN ZTH H XTEPH BNXSW»,

зашифрованное линейным шифрующим преобразованием триграмм 26-буквенного алфавита A-Z с числовыми эквивалентами 0-25. Известно, что последние три триграммы — это подпись отправителя «JAMESBOND». Найти дешифрующую матрицу и прочитать сообщение.

ЛИТЕРАТУРА к ГЛАВЕ III

1. Hill L. S. Concerning certain linear transformation apparatus of cryptography. — Amer. Math. Monthly, 1931, v. 38, p. 135-154.

2. Kahn D. The Codebreakers, the Story of Secret Writing. N.Y. etc.: Macmillan, 1967.

3. Rosen К. H. Elementary Number Theory and Its Applications. 3rd ed. Reading: Addison-Wesley, 1993.

ГЛАВА IV

ОТКРЫТЫЙ ключ

§ 1. Суть криптографии с открытым ключом

Напомним, что криптосистема состоит из взаимно однозначного шифрующего преобразования / из множества V всех возможных элементов открытого текста в множество С всех возможных элементов шифртекста. На самом деле термин «криптосистема» чаще применяется к целому семейству таких преобразований, зависящих от выбора некоторых параметров (от них могут зависеть как отображение /, так и множества V и С). Например, при фиксированном Л^-буквенном алфавите (с раз и навсегда выбранными числовыми эквивалентами) можно рассмотреть аффинную криптосистему (или «семейство криптосистем»), которая при каждом а Є (Z/NZ)" и Ь Є Z/NZ является отображением h3V=Z/NZbC = Z/NZ, заданным формулой С = аР + Ь (mod N). В этом примере множества VaC фиксированны (так как N — фиксированное число), но шифрующее преобразование / зависит от выбора параметров а и Ь. Поэтому шифрующее преобразование можно задать: (і) алгоритмом, единым для всего семейства, и (ii) значениями параметров. Значения параметров называются ключом шифрования Ke- В нашем примере K^ — это пара (а,Ь). На практике считается, что алгоритм известен (т.е. общий вид процедуры шифрования сохранить в тайне нельзя). Однако ключи легко меняются и, если это необходимо, держатся в секрете.
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed