Курс теории чисел и криптографии - Коблиц Н.
Скачать (прямая ссылка):
1319 693158 1 - 1 1 1 1 - -
1370 830297 -23-----
1493 1182446 1 - - 1 2 1 - -
Строки 1 и 3 зависимы и приводят к разложению 1879 • 557.
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
t
г2 - тг
2
3
5
13
17
19
Л і
31
37
41
1030
1209
-
1
-
1
-
-
-
1
-
—
1043
28158
1
1
-
1
-
2
-
-
—
—
1046
34425
-
4
2
-
1
-
-
-
-
-
1047
36518
1
-
-
-
-
1
-
2
-
—
1079
104550
1
1
2
-
1
-
-
-
-
1
1096
141525
-
2
2
-
1
-
-
-
1
-
1123
201438
1
2
-
-
2
-
1
-
-
1141
242190
1
4
1
1
-
-
1
-
-
-
1154
272025
3
2
1
-
-
-
1
-
-
1161
288230
1
-
1
-
-
1
-
-
1
1
1199
377910
1
2
1
1
1
1
-
-
-
-
1233
460598
1
-
-
-
1
1
1
1
-
-
1251
505310
1
-
1
3
-
-
1
-
-
-
1271
555750
1
2
3
1
-
1
-
-
-
-
1284
588965
-
1
2
1
-
-
-
-
1
1309
653790
1
1
1
-
-
1
-
1
1
-
1325
695934
1
2
-
-
-
-
1
-
-
2
1366
806265
-
2
1
-
-
1
1
-
-
1
1371
819950
1
-
2
-
-
-
2
1
-
-
1420
956709
-
2
-
2
1
-
-
-
1
-
1504
1202325
-
1
2
—
1
1
—
_
1
, 2 и 7 зависимы по модулю 2, но не приводят к нетривиальному делителю, и 9 зависимы и приводят к разложению 1787 • 593.
t
г2 - тг
2
5
7
11
17
19
37
43
47
1001
3230
1
1
-
-
1
1
-
-
-
1003
7238
1
-
1
1
-
-
-
-
1(
1004
9245
-
1
2
-
1018
37553
-
-
-
-
1
-
-
-
2
1039
80750
1
3
-
-
1
1
-
-
-
1056
116365
-
1
-
-
1
-
2
-
-
1069
143990
1
1
1
2
1
-
-
-
-
1086
180625
-
4
-
-
2
-
-
-
-
1090
189329
-
-
1
-
1
-
1
1
-
1146
314545
-
1
1
1
-
1
-
1
-
1164
356125
-
3
1
1
-
-
1
-
-
1191
419710
1
1
-
-
-
1
-
-
2
1241
541310
1
1
1
1
-
1
1
-
-
1311
719950
1
2
1
2
1
-
-
-
-
1426
1034705
—
1
1
—
1
—
1
—
1
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
251
Строки 1 и 5 зависимы и приводят к разложению 661 • 1511.
§VI.l
1. Либо группа окружности (если вещественная кривая имеет одну связную компоненту), либо произведение группы окружности и двуэлементной группы (если она имеет две связные компоненты). Пример первого случая — кривая с уравнением у2 = х3 + х, пример второго — кривая с уравнением у2 = х3 — х (для уравнения вида (1) это определяется тем, имеет ли кубический многочлен в правой части 1 или 3 вещественных корня).
2. н2 комплексных точек порядка га; га вещественных точек порядка га, если п нечетно, и либо га, либо 2га, если га четно, в зависимости от того, имеет вещественная кривая одну или две компоненты.
3. Те же самые примеры, что и в упражнении 1.
4. а) На оси х. б) Точка перегиба, в) Точка, где прямая линия, проходящая через точку пересечения кривой с осью і, касается кривой (в дополнение к точкам из п. а)).
5. а) 3. б) 4. в) 7. г) 5.
2 2
6. Характеристика 2: X3 = Ц-Ц + хх + х2, уз = с + у\ + yrlVL2 (*1 + хз),
1 ' 2 ¦b 1 t * 2
4 2 2
а если P = Q, то X3 = —, уз = с + yi H--—(ц + хз); для уравнения (26)
хз = ffrif + + + 2/3 = +*з) + *за если P= Q1
то хз = х\ + 4j-, уз = х\ + (х\ + ^т)?з + хз; характеристика 3: X3 = (^~^ )2 — а - Xi - х2, у3 = -in + I2'*1 {х\ - хз), а если P = Q, то хз = (°1''11)2 - a + X1,
¦с2 х 1 у1
, ах і — 6 / \
2/3 = -2/1 H--^T-(Zi - гз).
7. а) Показать, что для каждой пары {а,—а] в точности одно из значений X = ±а приводит к двум решениям (х,у) уравнения (значение х = 0 и точку в бесконечности рассмотреть отдельно). б)-в) Использовать тот факт, что при о = 2 (mod 3) отображение х —+ х3 поля F5 на себя взаимно однозначно.
8. В следующей таблице приводятся типы абелевых групп для каждого значения q и каждой из двух эллиптических кривых:
9
3
5 7 9 11
13
У2
= X3 — X
(2,2)
(4,2) (4,2) (4,4) (2,2,3)
(4,2)
У2
= х3-1
--
(2,3) (2,2) — (4,3)
(2,2,3)
Я
17
19 23 25
27
У2
= X3 — X
(4,4)
(2,2,5) (4,2,3) (8,4)
(2,2,7)
У2
= х3-1
(2,9)
(2,2,7) (8,3) (2,2,3,3)
--
9. а) Пусть P = (х,у). Тогда -Р = (х,у + 1), 2Р = (х4,у4 + 1). б) Имеем 2(2P) = (i16,2/16 + 1 + 1) = (z16, у16) = {х,у) = Р. в) По п. б) имеем: 2Р = -Р, т.е. (х4, у4 + 1) = (х,у + 1); это, однако, означает, что х4 = х, у4 = у, а потому X и у принадлежат полю из 4 элементов. По теореме Хассе число N точек кривой отличается от 4+1 не более, чем на 2д/4 = 4, и от 16 + 1 не более, чем на 2\/Тб = 8. Поэтому TV = 9.
