Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
/(*) = X2-X1
О, в противном случае.
Ясно, что ожидаемый выигрыш равен (xi+x2)/2, а детерминированный эквивалент определяется из уравнения
„M_](_«-«)(--L_)d*
X1
ИЛИ
Выполнив расчеты для нескольких вариантов, получим табл. 4.2.
Из табл. 4.1 и 4.2 видно, что если выигрыши лотереи увеличить на определенную сумму, то и детерминированный эквивалент увеличится на ту же самую сумму. Это является важным свойством экспоненциальной функции полезности.
Теорема 4.2. Если u(x)——t~cx и х — детерминированный эквивалент для лотереи х, то Jt+Xo является детерминированным эквивалентом для лотереи х+х0.
Таблица 4.1. Детерминированные эквиваленты для лотерей <*і, Хг> при и(х) ~—е~сх
Таблица 4.2. Детерминированные эквиваленты для лотерей с равно* мерным распределением выигрышей
, при и(х) ~—е~сх
л
с X1 ** X X с X1 X2 X X
1,0 0 10 5 0,69 1,0 0 10 5 2,30
1,0 10 20 15 10,69 1,0 10 20 15 12,30
1,0 20 30 25 20,69 1,0 20 30 25 22,30
0,2 0 10 5 2,85 0,2 0 10 5 4,2
0,2 10 20 15 12,85 0,2 10 20 15 14,2
0,2 20 30 25 22,85 0,2 20 30 25 24,2
0,1 0 10 5 3,8 0,1 0 10 5 4,58
0,1 10 20 15 13,8 0,1 10 20 15 14,58
0,1 20 30 25 23,8 0,1 20 30 25 24,58
146
Доказательство. Детерминированный эквивалент х! для второй лотереи является решением уравнения
—<ГС*' = E [и Oc + x0)] = E [—е-сГх+Хо) ] = е-^о Е[—є**7].
Но, ПО Определению, _q-Cx _е~~с*],
так что
_q-Cx' __ е~сх0 ^_q-cx j__q—c{x+x0)
откуда следует, что x'=x + Xq.
Пример 4.3. Пусть u(x)=log(x+b), х>—6. Ожидаемый выигрыш для лотереи <*ь *2>> как и раньше, равен \x\ + x2)j2. Детерминированный эквивалент, определяемый из уравнения
log^+b)= l°gfa + ft) +log(^4-6) t
равен
?=y(xi + b)(x2 + b)—b.
Для нескольких вариантов он указан в та'бл. 4.3.
Из табл. 4.3 можно увидеть, что для каждой лотереи детерминированный эквивалент всегда меньше, чем ожидаемый выигрыш. Однако для любого значения b эта разность становится меньше
Таблица 4.3. Детерминированные эквиваленты для лотерей <*t, *2> при и(х) ~\og(x+b)
ъ x9 x x
1 0 10 5 2,32
1 10 20 15 14,2
1 20 30 25 24,5
Il 0 10 5 4,2
11 10 20 15 14,5
11 20 30 25 24,7
21 0 10 5 4,5
21 10 20 15 14,7
21 20 30 25 24,8
Рис. 4.4. Детерминированные эквиваленты, используемые для немонотонной функции !полезности
при увеличении выигрышей х\ и X2 на заданную сумму. Позднее в этой главе мы много внимания уделим функциям полезности, для которых детерминированные эквиваленты ведут собя таким образом.
Пример 4.4. Все три первых примера были связаны с монотонно возрастающими функциями полезности. Рассмотрим убывающую функцию полезности и(х)=—X2, х^0, и рассчитаем ожидаемые выигрыши и детерминированные эквиваленты для <0, 10>
147
и <10, 20>. Ясно, что ожидаемые выигрыши равны 5 и 15 соответственно. Детерминированный эквивалент для <0, 10> является решением уравнения
--^±І0!_=_50.
2
Следовательно, #=7,07. Аналогично находим, что детерминированный эквивалент для <10, 20> равен 15,8. Это означает, что принимающему решение безразлично, получить ли Jc=7,07 наверняка или участвовать в лотерее <0, 10>, получить ли л:= 15,8 наверняка или участвовать в лотерее <С 10, 20>.
Вычисление детерминированных эквивалентов было проиллюстрировано на примерах для некоторых типичных лотерей. Однако во всех этих примерах рассматривались только монотонные функции полезности. А как обстоит дело в немонотонном случае? В этой ситуации детерминированный эквивалент может быть неединственным. Обратимся к рис. 4.4 и рассмотрим лотерею 50—50 с выигрышами х\ и лг2. Детерминированным эквивалентом является всякий исход, полезность которош равна ожидаемой полезности лотереи [и(х\) +и(х2)]/2. Как видно из рис. 4.4, хъ и х± являются детерминированными эквивалентами для <.*i, х2>, но фактически один из них даже не попадает в диапазон между двумя возможными выипрышами лотереи.
4.4. НЕСКЛОННОСТЬ К РИСКУ
В этом и следующих четырех параграфах мы вводим несколько основных типов отношения к риску и поясняем их смысл, рассматривая соответствующий функциональный вид 'функции полезности. Для того чтобы сохранить целостность изложения и помочь читателю прочувствовать физический смысл этих понятий, в § 4.4—4.7 рассматриваются только монотонно возрастающие функции полезности. По тем же причинам мы часто будем обсуждать случаи, связанные с денежным критерием, таким, как «чистые активы» или «нарастающий приход». Однако, как мы уже ранее подчеркивали, эти понятия в полной мере подходят и. к неденежным критериям. В § 4.8 понятия, связанные с риском, распространяются на ситуации с убывающими и немонотонными предпочтениями.
4.4.1. Определение «несклонности» к риску («неприятие» риска). Интуитивно мы думаем о лице, не склонном к риску, как о человеке который ведет себя консервативно. Рассмотрим возможное поведение лица, принимающего решение и анализирующего целесообразность участия в лотерее, которая может дать с равными вероятностями либо выигрыш х\ либо менее предпочтительный выигрыш х". Ожидаемый выигрыш х этой лотереи равен, очевидно, (je7+я")/2. Предположим теперь, что принимающего решение просят указать, что он предпочитает: получение х наверняка или участие в лотерее х">. Если принимающий решение
