Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
4.3.2. Детерминированный эквивалент и стратегическая эквивалентность. Понятие детерминированного эквивалента является одним из основных в теории полезности. Оно вводится здесь, так как будет часто использоваться в следующих параграфах при рассмотрении различных характеристик риска ,и их связи с функциями полезности.
Пусть L — лотерея, приводящая к выигрышам (исходам) х\9 х2, Xn с вероятностями ри р2, Pn соответотвенно. Обозначим неопределенный выигрыш (т. е. случайную переменную), даваемый лотереей, через х, а ожидаемый выигрыш (математическое ожидание выигрыша) через х:
п
х=Е(х) = 2 piXi. (4.5)
143
Ожидаемая полезность этой лотереи равна
Е[и(х)]= S PiU(Xi) (4.6)
1=1
и является показателем, который при выборе лотерей следует максимизировать.
Определение. Детерминированным эквивалентом лотереи L называется величина х, такая, что принимающий решение безразличен в выборе между участием в лотерее L и получением X наверняка. Следовательно, х определяется равенством
и(х) =Е[и(х)] или х=и~хЕи(х). (4.7)
Заметим, что для монотонной функции полезности детерминированный эквивалент любой лотереи определяется единственным образом.
Когда рассматриваемым критерием является денежная оценка получаемого результата, то детерминированный эквивалент лотереи называется детерминированным денежным эквивалентом. Если X — период реагирования, то детерминированные эквиваленты удобнее называть детерминированными временными эквивалентами. Однако !поскольку из контекста всегда будет ясно, о чем речь мы будем пользоваться термином «детерминированный эквивалент» 'без дальнейших уточнений.
Исторически многие исследования по теории одномерной полезности, а поэтому и детерминированные эквиваленты, были связаны с полезностью денег. В связи с этим в литературе часто встречаются термины денежный эквивалент и продажная цена лотереи. Оба термина обозначают детерминированный эквивалент лотереи с денежными выигрышами*).
Нужно сделать следующее замечание, хотя оно, возможно, покажется очевидным. Ожидаемый выигрыш и детерминированный эквивалент, определенные формулами (4.5) и (4.7) соответственно, относились к лотерее с конечным числом возможных выигрышей. Если возможные выигрыши лотереи описываются плотностью распределения то ясно, что ожидаемый выигрыш х этой лотереи равен
X=E (х) = ^xf(x)dx,
а детерминированный эквивалент х является решением уравнения u(Jt) =Е[и(х)]= j u(x)f\x)dx.
Прежде чем переходить к примерам, следует ввести понятие стратегической эквивалентности.
*) Покупная цена лотереи с денежными выигрышами — другой термин, часто встречающийся в литературе. Она определяется как наибольшая сумма денег, которую уплатил бы принимающий решение за лотерею с учетом денежного положения, •b котором он находится. Только лишь в частных случаях покупная цена лотереи равна продажной (см. гл. 4, § И книги Райфа (1968)).
144
Определение. Две функции полезности щ и U2 стратегически эквивалентны (это записывается так: и\~и2) тогда и только тогда, когда они одинаково упорядочивают по предпочтительности-любые две лотереи.
Из этого определения, конечно, следует, что если U\~U2, то детерминированные эквиваленты для любой лотереи, определенные функциями щ и и2, одинаковы. Символически это записывается следующим образом:
U1 ~u2^u\~lEu\(х) —U2-1Eu2(х) для любых х.
Легко показать, что если для некоторых констант h и k>О справедливо
щ(хі) =h + ku2(x) при любых ху
то щ~и2.
Теперь мы сформулируем обратное утверждение. Теорема 4.1. Если щ~и2, то существуют две такие постоянные h и &>0, что
Ui(х) =h+ku2(x) для всех х. (4.8)
Доказательство. Пусть х — произвольное значение из [х°, я*] и пусть X~ я, х°>, так что
Ui(x) =пщ(х*) + (1—л)щ(х°) для i=l, 2. (4.9)
Полагая в (4.9) 1=2 и разрешая равенство относительно я, получаем
Яаа (410)
и2(х*)-и2(х°У
Подставляя это значение я в (4.9) для i=l, приходим к нужному результату.
Стратегически эквивалентные функции полезности имеют одинаковый смысл с точки зрения сравнительной оценки действий. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 4.1. Пусть и(х) —a+bx ^x, 6>0. Предположим, что принимающий решение имеет дело с лотереей, описываемой плотностью распределения выигрышей /. Тогда ожидаемый выигрыш равен
х=Е(х) = J xf\x)dxy
и детерминированный эквивалент х находится из уравнения
и(х) = Е[и(х)]=Е[а+Ьх] =а + Ьх.
Так как и(х)=а+Ьх, то отсюда следует, что St=x. Этот пример показывает, что если функция полезности линейна, то детерминированный эквивалент любой лотереи равен ожидаемому выигрышу этой лотереи.
Пример 4.2. Пусть и (х) = a—^be~rx ~ —е~Ч где Ь > 0, и предположим, что принимающий решение имеет дело с лотереей 50—50 (т. е. приводящей с равными вероятностями либо .к Xu либо К X2) у
145
Xi X х%9
обозначаемой как <Х\, х2>. Ожидаемый выигрыш х равен (х\ + +X2)/2. Детерминированный эквивалент находится из решения* уравнения
и(х) =Е[и(х) ] или равносильного уравнения
—е~сх = — (е-«» + е-«»)/2.
Предположим теперь, что лотерея описывается плотностью равномерного распределения ( 1
