Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
и>(х) =тш(х*) + (1—я) и (х°) =я.
Установив таким образом значения полезности всех исходов х, можно провести различными способами проверку их согласованности. Например, пусть xr, х!г и х"г — последовательность исходов, возрастающих по предпочтительности, ,и пусть получение х" наверняка эквивалентно участию в лотерее <л:"/, р, х'>. Тогда для согласованности необходимо, чтобы число р было таким, что
и (*") =pw(jt'") + (1—р)и'(;0,
или
и(*)-и(хГ)
Р U (X'") — U (X') '
Этот метод прямого установления может быть применен к задачам, в которых возможных исходов немного, скажем, не больше, например, 50. Однако мы полагаем, что в задачах с большим числом исходов при наличии естественного упорядочения исходов X лучше использовать другой подход. Соответствующий метод вклю-
*> В более развернутой форме мы сказали бы: «Пусть для принимающего решение безразличен выбор между х и лотереей...».
141
чает їв себя установление полезности для нескольких исходов, как это указывалось выше, и подбор описывающих их кривой, т. е. функции полезности. Вид и функциональная форма функции полезности, как мы увидим в следующих пяти параграфах, говорят нам очень много об отношении лица, принимающего решение к риску. Поэтому наш общий подход начинается с выяснения этих основных особенностей отношения к риску, установления функциональных форм функций полезности, отражающих эти особенности, после чего мы переходим к конкретизации функции полезности на основе нескольких построенных точек. Как это делается, —¦ является предметом нашего дальнейшего рассмотрения.
4.3. ОДНОМЕРНЫЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
Введем некоторые качественные характеристики функций полезности. Каждая такая характеристика отражает определенную особенность предпочтений лица, принимающего решение, относительно возможных исходов и лотерей. Выразив эти особенности математически, можно будет аналитически описать ограничения на функцию полезности, которые вытекают из наличия этих особенностей. Если принимающий решение согласен с указанными особенностями, его функция полезности будет заключена в довольно узких границах, что облегчает фактическое построение этой функции. Кроме того, это позволяет провести анализ чувствительности и изменчивости.
4.3.1. Монотонность. Часто разумной и оправданной характеристикой является монотонность. Если исходы характеризуются в деньгах, то (большинство (если не все) лиц, принимающих решения, предпочитают большую сумму меньшей. В этом случае, когда и представляет собой функцию полезности для денежных оценок X1 в силу своего построения функция !полезности должна удовлетворять условию
[Xi >х2] [и (X1) > и (X2) ]. (4.3)
Теперь рассмотрим предпочтения для периода реагирования службы скорой помощи. Представляется вполне разумным принять, что меньший период реагирования всегда предпочтительнее большего. В этом случае, если t — конкретный период реагирования, а и — функция полезности, то
[ti>t2]<h^[u(t2)>u(tl)]. (4.4)
Поэтому мы говорим, что функция полезности периода реагирования является монотонно убывающей.
Мы можем легко перейти от убывающей к возрастающей функции полезности, изменив критерий. Предположим, что вместо того, чтобы оценивать службу скорой помощи через период !реагирования, мы определили «нормативную продолжительность периода реагирования», равную 15 мин, и для оценки службы используем критерий «время реагирования, сэкономленное по сравнению с
142
нормативным». Если мы для всякого вызова службы обозначим через у это сэкономленное «время по сравнению с нормативным и определим его равенством у= 15—t, где t — определенный ранее период реагирования, то предпочтения, очевидно, будут возрастающими по у, и ,поэтому функция полезности для нашего нового критерия также будет возрастающей. Это верно во всех случаях, даже если «сэкономленное время» отрицательно (т. е. период реагирования больше 15 мин).
Ясно, что мы можем легко перейти от возрастающей к убывающей функции полезности, поменяв знак меры эффективности. По-видимому, самый понятный пример такого перехода — деловые операции, оцениваемые либо доходами, либо убытками. Безошибочно можно принять, что предпочтения являются возрастающими по мере роста доходов и убывающими по мере роста убытков. л
Приведем пример ситуации, в которой функция полезности не является і монотонной. В медицинской практике ^ -встречаются задачи, связанные с не- й$ нормальным содержанием сахара в | крови пациента. У лечащего врача для ^ решения такой задачи обычно имеется
много различных методов. Мерой эф- , //ап/юлоное
феКТИВНОСТИ ЗДеСЬ МОЖеТ СЛУЖИТЬ ПРО- ф^яюе cote^we
центное содержание сахара в крови. ewape? Ялро&у
Существует некоторое «нормальное»
процентное содержание сахара, кото- Рис. 4.3. Немонотонная функ-рого и желательно добиться. Если со- ция полезности
держание ниже нормы, то чем меньше
процент сахара в крови, тем положение хуже. Если содержание выше нормы, то больший процент сахара менее предпочтителен, чем меньший. В этом случае предпочтения являются монотонно возрастающими до нормального уровня и монотонно убывающими после него. Функция полезности подобного рода изображена на рис. 4.3.
