Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
где шкалы измерения и и щ выбраны так, чтобы значения этих функций лежали в диапазоне от 0 до 1, Xi — шкалирующие коэффициенты, 0<А,г<1 для всех і и Я>—1.
Доказательство. Если справедливы допущения 1 и 5, то (см. теорему 6.1) функция и(х) имеет вид (10.14) только в том случае, когда м*,-, функция полезности ЛПР для ?/*, может быть заменена на щ. Из допущения 4 следует, что
u*i = uu t=l, 2, ..., N. Этим завершается доказательство.
Заметим, что, если группа состоит только из двух лиц, допущение 1 не имеет смысла. Однако в этом случае (см. теорему 10.4) выражение (10.14) непосредственно вытекает из допущений 4 и 5.
Выражение (10.14), согласно сделанным допущениям, представляет собой особый случай (10.11). Более того, отметим, что особые случаи (10.11) и (10.14) ведут к аддитивной групповой функции полезности
и(х)=Д^(х). (10.15)
В частности, это вытекает из (10.14), когда X=0. Если ХФО, мы можем умножить обе части (10.14) на Я, и добавить 1, в результате получаем -мультипликативную групповую функцию полезности
Хи(х)+ I=U[XXiUi(X) +1]. (10.16)
Свойства, которыми обладают аддитивная и мультипликативная функции полезности, рассматриваются в §§ 10.4, 10.5.
10.3.3. Особый случай: аддитивная функция полезности. При структуризации определенных видов групповых функций полезности могут оказаться приемлемыми следующие допущения.
Допущение 7 (всеобщее согласие). Если все члены группы имеют одну и ту же функцию полезности, то тогда групповая функция полезности должна быть функцией полезности, общей для всех членов.
Объединив это с предыдущими допущениями, получаем следующую теорему.
Теорема 10.6. При N^2 допущения 1 или IA (независимость по предпочтению), 4 (стратегическая эквивалентность), 5 (незави-
самость по полезности) и 7 (всеобщее согласие) справедливы тогда и только тогда, когда групповая функция полезности является аддитивной:
U(X) = ZXiUi(X)9 (10.17)
Докажем сначала аддитивность и(х).
Доказательство. Поскольку предполагается, что допущения 4 и 5 справедливы, групповая функция полезности и(х) может быть представлена в виде'(10.14). Теперь рассмотрим особый случай, когда
Mi=U2= ... = UNi
и обозначим общую для всех членов группы функцию полезности через Uo. Подставляя ее в (10.14), получаем
n n
и (х) = U0 (X)J X1 + [U0 (X)]2X ? X1 Xj +... + [U0 (X)]"X"-* X1X2 ...Xn.
JX
(10.18)
Но, вследствие допущения 7,
и(х)=а+Ьи0(х)9 (10.19)
где а и Ъ>0 — неизвестные константы. Выражения (10.18) и (10.19) совместны, только если и(х) предстаВ'Има. в аддитивной форме (10.17). И наоборот, допущения 1, 4, 5, 7 непосредственно следуют из (10.17).
10.4. АДДИТИВНАЯ ПОЛЕЗНОСТЬ И АРГУМЕНТАЦИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО «СПРАВЕДЛИВОСТИ»
Сделаем краткий анализ основных допущений, используемых в этой главе. В этом параграфе мы остановимся на вопросе «справедливости», или иначе говоря, «беспристрастности» по отношению к членам группы, и в связи с этим исследуем некоторые свойства аддитивной и мультипликативной функций полезности. Интересное и глубокое рассмотрение целого ряда возникающих здесь вопросов содержится в работе Харшаньи (1974).
10.4.1. Априорная и апостериорная справедливость. Рассмотрим простой пример. Допустим, что ЛПР учитывает ,предпочтения двух лиц, и ее собственная функция полезности имеет вид
и (х) = uD (Ux (х), U2 (х)) = 0,5иі (х) + O9Su2 (х), (10.20)
где щ — полезность !последствия X для индивида і (изменяющаяся в пределах от 0 до 1). Обозначим через (0, 4; 0, 6), например, альтернативу, где «і = 0,4 и U2 = 0,6. Теперь рассмотрим следующие альтернативы.
Альтергіатива A: (U O)9
В: <(1;0), (0; 1)>,
С: <-(1; 1), (0;0)>.
922
Согласно (10.20), ЛПР должна быть безразлична к выбору между альтернативами A9 В и C9 поскольку все они имеют ожидаемую полезность 0,5.
Анализируя рассматриваемый пример, Даймонд (1967) отмечает, что если равные значения полезности воспринимаются каждым из индивидов одинаково, то, поскольку ЛПР безразлична к выбору между А и B9 логика принятия решения представляется несправедливой по отношению к индивиду 2. При альтернативе А он не имеет никаких шансов получить свой предпочитаемый исход (т. е. U2 = I), тогда как это возможно для него при альтернативе В. Таким образом, чтобы быть «справедливой» по отношению к индивиду 2, ЛПР, по мнению Даймонда, должна предпочесть альтернативу В.
Даже в тех ситуациях, когда справедливость соблюдается по отношению ко всем индивидам, аддитивная групповая функция полезности может привести к нежелательным результатам для группы. Например, при обеих альтернативах В и С каждый индивид обладает равными шансами на «успех», т. е. реализацию наиболее предпочитаемого им последствия. Однако в некоторых ситуациях представляется резонным для ЛПР предпочесть альтернативу С альтернативе В. При альтернативе С реализуются либо наиболее, либо наименее предпочитаемые ими обоими последствия, т. е. результат будет справедливым в обоих случаях. С другой стороны, при альтернативе В результаты всегда будут несправедливы: исходом этой лотереи всегда будет такое последствие, которое наиболее предпочтительно для одного и наименее предпочтительно для другого индивида.
