Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 10.3. При N^2 допущение 3 (аддитивная независимость) и допущение 4 (стратегическая эквивалентность) справедливы тогда и только тогда, когда
N
u(x)= S ищ(х)9 (10.8)
где Ui9 ї=1, 2, N — функция полезности индивида і, со шкалой от 0 до 1, Xi — положительные шкалирующие коэффициенты и X — последствие.
Доказательство. Если выполняется допущение 3, то из теоремы 6.4 следует, что
и(х)= 2 X^[W4(X)], Хі>0, (10.9)
где u*i9 1=1, 2, N — функция полезности ЛПР для Ui со шкалой измерения от 0 до 1. Если шкалы для измерения индиви-
518
дуальных функций полезности выбраны так, что значения щ лежат в диапазоне от 0 до 1, то из допущения 4 вытекает, что
и*і[щ(х)]=ііі(х), i=l9 2, N9
откуда непосредственно следует утверждение, сформулированное в теореме.
При сравнении (10.8) и (10.9) различие между допущением об аддитивной независимости и допущением H Харшаньи становится очевидным. Фактически, теорема 10.3 показывает, что допущения Я и 3 и 4. вместе, эквивалентны. Сравнение со стороны ЛПР предпочтений индивидов необходимо для нахождения значений шкалирующих коэффициентов Xu Тот факт, что Х% положительны, обеспечивает положительную связь предпочтений ЛПР и индивидов в смысле допущения 2. В действительности из (10.8) следует наличие более сильной положительной связи, как будет показано в следующем пункте.
10.3.2. Более общие групповые функции полезности. Рассмотрим следующее допущение, более слабое, чем допущение 3, которое представляется оправданным для определенных задач, связанных с принятием решений (см. гл. 6). ,
Допущение 5 (независимость по полезности). Каждый из критериев UiL і—19 2, N9 не зависит по полезности от остальных критериев Ui.
Согласно определению независимости по полезности, из допущения 5 следует
uD(uu щ9 uN)=gi(ui) +fi(ui)u*i(Ui)9 для всех I9 (10.10)
где
Ui=(Uu Щ-и Ui+u Un),
все Ji положительны, а и*{ — условная функция полезности ЛПР для критерия Ui.
Теорема 10.4. При N^2 из допущения 4 (стратегическая экви* валентность) и допущения 5 (независимость по полезности) следует, что
u(x)=uD (Uu и2, uN)= S ХіЩ(х) +
N
+ S XijUi(x)U}(x)+ ... +Я12 ... Nux(x)u2 (х) ...uN(x)9 (10.11)
f>i
где шкалы для измерения и и щ выбраны так, чтобы значения этих функций лежали в диапазоне от 0 до 1; X — шкалирующие коэффициенты и 0<Яг<1 для всех L
Доказательство. При справедливости допущения 4 выражение (10.11) непосредственно вытекает из теоремы 6.3. Для этого нужно лишь подставить и*г (функцию полезности ЛПР для Ui) вместо Ui. Далее согласно допущению 4
u*i[ui(x)]=ui9 i=l, 2, N9 , (10.12)
519
поскольку и*і и щ шкалированы от 0 до 1. Отсюда непосредственно следует (10.1)1).
Альтернативное условие — более сильная положительная связь, о которой говорилось в последнем пункте, и из которого следует (10.11), — целесообразно рассмотреть отдельно.
Допущение 6 (положительная функциональная связь). Пусть А, В, С будут такие три определенные последствия, что все индивиды, кроме і, безразличны к выбору между этими последствиями. Предпочтения ЛПР относительно лотереи с исходами А и В по сравнению с С определяется оцениваемыми ею самой вероятностями и полезностями этих альтернатив для индивида L
Пример. Пусть иАи иви и°х будут полезности последствий А, В, С соответственно, с точки зрения индивида і, и пусть uAj=uBj = ucj для всех \фи ЛПР (предпочитает <А, В>, а не С при условий, что 0,5 uAi+0t5uBi>uci.
Из допущения 6 следует, что Ud, как функция своего 1-го аргумента uif есть положительное линейное преобразование функции' щ, т. е.
Ud(Uu Uu uN) ^g1(Ui)+U(Ui)Ui * (10.13)'
Для всех U где gi и fi определяются так же, как и в выражении (10.10).
Если выражение (10.13) было бы неверно, то мы тотчас же пришли бы к противоречию с допущением 6. Чтобы показать это, допустим, что (10.13) не имеет места для некоторого І.
Тогда мы могли бы подобрать лотерею вида
<(и°и м°<-ь и'и "Vb u°N), (и°и ..., mVi, vT и "Vi, ..., u°N) >
и последствие
(и°и ... , U°i-u Ui, U°i+u ..., u°N)
такие, что предпочтение индивида і не будет совпадать с предпочтением, вытекающим из функции uD-
Из сравнения выражений (10.10), (10.12) и (10.13) следует, что допущение о функциональной положительной связи эквивалентно допущениям о независимости по полезности и стратегической эквивалентности.
Рассмотрим допущение 1 (см. § 10.2), согласно которому все пары критериев {Vu Vj} независимы по предпочтению от своих дополнений. Отметим, что в соответствии с определениями функций ценности и полезности, это равносильно следующему утверждению:
Допущение IA (независимость по предпочтению). Критерии {Ui9 Uj} независимы по предпочтению от своих ДОПОЛНеНИЙ Uij для всех іф], ДО^З.
Теперь мы можем сформулировать очень важный результат.
520
Теорема 10.5. При N ^3 из допущений 1 или IA (независимость по предпочтению), 4 (стратегическая эквивалентность) и 5 (независимость по полезности) следует, что
U(x) = UD(UU U2, ... , Un) =
n n
= 2 (х) +X S XiKjUi(х) щ(х) + i=i i=i
+ ... + X^1XiX2... XnUi (x) W2 (х)... Un (х) , (10.14)
