Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Допущение С (независимость несвязанных альтернатив). Если некоторая альтернатива исключается из рассмотрения, а отношения предпочтения для остающихся альтернатив по мнению всех членов группы сохраняются неизменными, то новое групповое упорядочение этих остающихся альтернатив должно быть идентичным первоначальному групповому упорядочению этих же альтернатив.
Допущение Д (суверенность членов группы). Для любой пары альтернатив А и В существует такая совокупность индивидуальных упорядочений, что, согласно групповому упорядочению, альтернатива А предпочтительнее альтернативы В.
Допущение E (отсутствие диктатора). В группе не должно быть такого члена, что когда он предпочитает альтернативу А альтернативе В, то и группа предпочтет А альтернативе В, независимо от !предпочтений всех остальных членов группы. Эрроу (1951) доказал, что не существует такое правило объединения индивидуальных упорядочений, которое удовлетворяло бы безобидным на первый взгляд допущениям А — Е. Иными словами, справедлива следующая теорема.
Теорема 10.1. (теорема Эрроу о невозможности). Допущения А. В, С, Д и E несовместны. Отсюда следует, что наша ЛПР не может рассчитывать на такую процедуру, которая позволяла бы объединить индивидуальные ранжирования в одно итоговое ранжирование самой ЛПР и при этом удовлетворяла бы этим пяти допущениям.
Один из выводов из теоремы о невозможности состоит в том, что в общем случае не существует такой процедуры агрегирования индивидуальных ранжирований, используя которую можно/ было бы обойтись без явного (эксплицитного) сравнения предпочтений различных членов группы. Этот результат обобщен в работе Сена (1970), где доказано, что нет такой процедуры кванти-
514
фикации структуры групповых предпочтений, которая была бы согласована как с допущениями Эрроу, так и с любым формальным представлением типа (10.1) или (10.2) и при этом не включала бы в себя сравнение индивидуальных предпочтений. Результаты, изложенные в следующем пункте и § 10.3, основаны на введении «степени предпочтений» индивидов. Кроме того, в них также указаны те сравнения индивидуальных предпочтений, которые необходимо произвести.
10.2.2. Аддитивные групповые функции ценности. Вернемся к проблеме (10.1), в которой нам необходимо получить функцию ценности V для ЛПР, имеющую в качестве своих аргументов индивидуальные функции ценности Vu ь=\9 2, N9 где N^ 3. Мы исходим из того, что существует такая функция vDf что
и сделаем два дальнейших допущения.
Допущение 1 (независимость по предпочтению). Критерии
независимы по предпочтению от своих дополнений ViJ9 для всех
Допущение 2 (положительная связь упорядочений). Пусть некоторые альтернативы А и В будут для группы одинаковы по предпочтительности. Если А изменяется и превращается в альтернативу Л' таким образом, что какой-либо индивид С предпочитает альтернативу Л' альтернативе Л, в то время как все остальные лица считают их равноценными, то тогда А' предпочитается альтернативе В всей группой.
Попробуем разъяснить смысл этих допущений. Допущение 1 для любых двух индивидов і и /, іф]9 означает, что если остальные N—2 индивидов безразличны к выбору между парой последствий, то предпочтения ЛПР относительно этих последствий должны определяться только предпочтениями индивидов і и / и не зависеть от степени предпочтений остальных индивидов. Для конкретности рассмотрим группу из трех лиц и начнем с последствий X7 и х". Предположим теперь, что индивид 3 считает эти последствия одинаковыми по предпочтительности. Допущение 1 говорит, помимо всего прочего, о том, что групповое предпочтение для х' и х", формируемое ЛПР, не должно зависеть от того, считает индивид 3 эти х' и х" катастрофическими или же, напротив, превосходными. Ранжирование ЛПР последствий х' и х" должно зависеть только от мненцй индивидов 1 и 2.
Из допущения 2 вытекаем, что vD в (10.1) есть положительная монотонная функция каждого из ее аргументов. Это значит, что если функция ценности v\ индивидов i9 i=l, 2, N9 возрастает, в то время как значение Vj9 \фі9 остаются неизменными, то функция ценности vD ЛПР также возрастает. Отметим, что это
*>(х)=ад[>і!(х), V2(X)9 vN(x)]9
{Vu Vj}
17*
515
согласуется с допущением В Эрроу о положительной связи группового и индивидуальных упорядочений. Сделанные допущения наводят нас на мысль (исходя из результатов гл. 3), что здесь также должна иметь место аддитивная функция ценности.
Теорема 10.2. При N^3 допущение 1 (независимость по предпочтению) и допущение 2 (положительная связь упорядочений) справедливы тогда и только тогда, когда
0(х) = 2^[^(х)] = ? v+(x), (10.4)
2=1 *=1
где, для всех г,
1) Vi есть функция ценности для индивида і, со шкалой измерения от 0 до 1.
2) функция v*i, представляющая собой положительное монотонное преобразование аргумента vit является функцией ценности ЛПР для Vi и отражает результаты сравнения со стороны ЛПР предпочтений индивидов.
3) v+i, определяемая как v*i(vi), есть другая функция ценности для индивида і, шкалированная так, чтобы она отражала результаты сравнения со стороны ЛПР предпочтений индивидов.
