Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Точная форма функции и со значениями в диапазоне от 0 до 1, жмеет вид
в б
U (X1, X21 ..., *e) = ^k1 U1(Xi) + ? J] 2 kt kj Щ (Xi) Uj (Xj) + 1=1 i=l j>i
б
+k* 211 21kt kj kn щ ^Uj ^Un w+• •'
i=l j>i n>j
... + kbkxk2k3 kt kb ke U1 (Xx) U2 (X2)... щ (x6), (8.3)
где Щ есть функция полезности для Xif изменяющаяся от 0- до 1; fci — шкалирующий коэффициент для щ и k — еще одна шкалирующая константа. Значение каждого ki должно располагаться
440
между О и 1 'И может рассматриваться как полезность и, относящаяся к последствию, в котором значения всех критериев, кроме Xi, зафиксированы на их наименее предпочтительных уровнях,., в то время как значение Xi установлено на наиболее предпочтительном уровне.
Значение k можно найти исходя из полученных значений &г*. Если SAf=I, то k=0, и выражение (8.3) сводится к аддитивной? функции
б
и(хи х2, X6)= S kitii(Xi). (8.4)
Если 2&г=7^1, то кФО, и мы можем умножить каждую из сторон, выражения (8.3) на k, добавить 1 к полученным результатам и,, разлагая правую сторону на множители, получить мультипликативную функцию
6
ku(xu х2, Jt6)+ 1= U[kkiUi(Xi) + l]. (8.5)
8.6.4. Построение функций W1-. Каждая из одномерных функций полезности была построена с помощью методов, описанных B-гл. 4. Проиллюстрируем это на примере квантификации предпочтений для продолжительности поездок в аэропорт.
Прежде всего мы определили максимальную и минимальную* продолжительности поездок. Согласно вероятностным распределениям, построенным МОР, продолжительность поездок может колебаться от 12 до 90 мин, причем меньшая продолжительность, очевидно, предпочтительнее большей. Отсюда, чтобы не отступать > от принятого нами условия, что значения функции полезности располагаются между 0 и 1, мы положили
иъ (90)= 0, (8.6 V
ив(12) = 1. (8.7)1
Из ответов опрашиваемых лиц, которые мы получили приостановлении независимости Хг от Xs, следовало, что продолжительность поездки 62 мин равноценна лотерее <12, 90> с равновероятными исходами, представлявшими собой продолжительности поездок в 12 и 90 мин. Поэтому полезность детерминированного исхода — продолжительность в 62 мин — должна равняться* полезности этой лотереи
и3(62) =0,5М12) +0,5^3(90) =0,5. (8.8)
Поскольку 62 мин больше, чем ожидаемая продолжительность-поездки 51 мин, для лотереи <12, 90>, то функция полезности должна отражать несклонность к риску. Несклонность к риску в данном контексте означает, что ожидаемое значение (х3+х'з)/2 для любой лотереи <Xz, x'z> будет предпочтительнее, чем сама лотерея. Задавая вопросы относительно специальным образом построенных лотерей и переходя далее к общему случаю, мы уста-
441
іновил'И, что для опрашиваемых лиц была характерна несклонность к риску, когда речь шла о критерии «продолжительность .поездки». Это означало, что функция полезности являлась вогнутой, как это показано на рис. 8.4.
12 20 40 OO SO Ws
Х$ ~/7/?O&O/7#rt//r?&/7o/f0C/77o rtOedtfW,
Рис. 8.4. Функция полезности для продолжительности поездки
Задавая новые вопросы, имевшие своей целью нахождение детерминированных эквивалентов для ряда дополнительных лотерей, мы смогли получить еще несколько точек с известными значениями и3. Например, мы нашли, что 40 мин равноценны лотерее <12, 62>, а 78 мин — лотерее <62, 90>, отсюда
и3(40) =0,5^(12) -f 0,5ы3(62) =0,75, (8.9)
U3 (78) =0,5ы3(62) +0,5^3' (90) =0,25. (8.10)
Затем для эмпирически найденных точек была подобрана аппроксимирующая их экспоненциальная функция. Эта функция и была принята в качестве функции полезности и3{х3).
На этой стадии мы не предприняли немедленной попытки установить и использовать свойства отношения к риску «более высокого порядка», как, например, убывающую несклонность к риску. Такие свойства больше относятся к «тонкой настройке» многомерной функции полезности относительно значений шкалирующих коэффициентов («взвешивающих» уровни значений различных критериев) и более общих свойств, таких, как монотонность и несклонность к риску для отдельных щ. Если бы в процессе дальнейшего анализа оказалось, что точная форма некоторых из щ играет важную роль, мы бы вернулись к этому вопросу и повторили нашу оценку альтернатив. Однако это не потребовалось.
Процедуры, подобные только что описанной, использовались при построении функций полезности затрат, безопасности, переселения и шума. Результаты показаны на рис. 8.5.
Как уже было сказано, подобрать интегрированную меру для пропускной способности аэропорта в различные годы не удалось.
442
Поэтому нам пришлось построить несколько функций полезности U2 для пропускной способности в отдельные годы.
Вид полученных функций полезности для продолжительности^ поездок, затрат и шума представляется нам вполне естественным».
0,5-
500 2000 X7 (миллион леса)
ЗиЛ7/?аЛ76/
O2
Х# (число лл?Оеи) безелаелошь
7000 я t 2000
250000 д?,-
Xff (число ля?ff ел) Переселение
7500 Щ 50 w 730&fdO лк ХІ У
95
Ярелусняия слосоіїлист ff ГШа. ff /OOffa. ff 70S ff а.
Рис. 8.5. Функции полезности, !построенные в процессе исследования проблемы^
