Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Кини Р.Л. -> "Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения" -> 127

Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.

Кини Р.Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. Под редакцией Шахнова И.Ф. — M.: Радио и связь, 1981. — 560 c.
Скачать (прямая ссылка): prinyatie risheny1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 261 >> Следующая

или
CJ(XJ)-I = C1(X,)-! ^ / = 2,3,..., й-1, U(Xj)^O1 (6.16) U (Xj) U (X1)
где k — некоторая константа. Если u(Xj)=Oy то очевидно, что Cj(Xj) = X9 и отсюда следует
a(xi) = ku(Xi) + 1 для всех i=\, 2, л—1. (6.17)
Повторно используя выражение (6.15), можно получить
U(X) =u(Xi) +Ci(Xi)U(X2, xz, Xn) =u(xi) +
]+Cl(X1)[U(X2) +C2(X2)U(X3, лг4, хп)]=и(х{) +
+ Ci(Xi)U(X2) +Ci(Xi)C2(X2)U(X3) + ... +Ci(Xi) ... Cn-i(Xn-l)u(Xn).
(6.18)
280
Подстановка выражения (6.17) в (6.18) дает
и(х) =и{х\) + [ku(xi) + l]u(x2) + IkU(X1) + I]X
X[ku(x2) + \]U(X3)+ ... + [ku(Xi) + l] ...[ku(xn-X) + I]U(Xn)
или, в более краткой записи,
п J-I
U(X) = U (X1) + 2 П [Ь (Xi) +I]U (Xj). (6.19)
Если *=0, выражение (6.19) сводится к аддитивной функции полезности
и (je)"'= S и (Xi). (6.20)
Если k=?0, то, умножив обе части равенства (6.19) на k, прибавив к каждой из них 1 и переставив члены в правой части полученного выражения, приходим к соотношению
ku(x) +1 = П[ku (Xi) + 1]. (6.21)
Вспомним, что u(Xi) обозначает на самом деле функцию и(х°х, ... x°i-u Xu x°i+u х°п). Следовательно, можно определить
U (Xi) =kiUi (Xi)
так, чтобы диапазон изменения функций щ(») был заключен в пределах от 0 до 1. Тогда выражения (6.20) и (6.21) сводятся, соответственно, к выражениям (6.13) и (6.14) и доказательство можно считать законченным.
В § 6.4 было показано, что (в двумерном случае) при взаимной независимости по полезности факторов Xx и X2, функция полезности и(хи X2) либо мультипликативна, либо аддитивна. Отметим, что этот результат является частным случаем приведенного выше утверждения.
Предположим, что условия теоремы 6.1 выполняются. Тогда важно знать, является ли функция полезности аддитивной или мультипликативной. Одна из процедур заключается в следующем. Возьмем два фактора, например Xx и X2. Затем выберем два значения фактора Х\: х\ и х"х, которые не равноценны для лица, принимающего решение. Аналогично выберем два значения фактора X2: xf2 и х"2. Далее, значения всех факторов, кроме Xx и X2, зафиксируем на некотором удобном для анализа уровне, который обозначим через х+Х2. Теперь без доказательства сформулируем следующее следствие.
Следствие. Если предположения теоремы 6.1 справедливы и, кроме того, лотерея с равновероятными исходами (х\, хг2, х+Х2) и (xf'u х"2, X+i2) равноценна для лица, принимающего решение, лотерее с равновероятными исходами (х'\, х"2у х+Х2) и (х?\, х'2, х+\2)>
281
функция полезности должна быть аддитивной. Если эти две лотереи не равноценны, то функция полезности мультипликативна.
Если условие равноценности или неравноценности лотерей выполняется для какого-либо одного значения х+12, то можно показать, что оно выполняется и для всех других значений х\2, так как {X1, X2JeUI. Таким образом, при проверке этого допущения можно не задумываться о значении Jc+I2.
6.3.1. Более слабые условия, приводящие к взаимной независимости по полезности. Существует несколько наборов более слабых условий, которые влекут за собой взаимную независимость по полезности. Важность таких условий в том, что они помогают существенно сократить число предпосылок, подлежащих проверке при выяснении возможности использования теоремы 6.1. Если дано множество п факторов {Хь X2, Xn}, то существует 2П—2 подмножеств факторов, которые должны быть независимы по полезности для того, чтобы допущение о взаимной независимости по полезности оказалось справедливым. При п—10 и отсутствии более слабых условий, для того чтобы убедиться в справедливости допущения о взаимной независимости по !полезности, необходимо проверить 1022 условия. Использование 'более слабых условий позволяет сократить число проверяемых допущений по крайней мере до п.
Теорема 6.2. Пусть имеются факторы X1, X2, Xn, тогда следующие условия являются эквивалентными:
1. Факторы Xi, X2, Xn взаимонезависимы по полезности.
2. ХіЄЕІЛ, 1=1, 2, п.
3. {X,, X1+1, XnJeUI, ї=2, 3, п, и {X1, X2, Xn-JeUI.
4. {Хь X1+JeUI, і=1, 2, п—< 1; п^З.
б. X1(E=UP)H {X1, XJePI, i=2, 3, п\ п^З. Заметим, что то определению независимости по полезности (UI) из условия 1 следуют условия 2—5. Обратные утверждения доказываются в 6.9. Там же описано образование различных наборов условий, обеспечивающих справедливость допущения о взаимной независимости по полезности. Условия 2—4 являются частными случаями этого общего результата. Доказательство того, что из утверждения б следует утверждение 1, связано с установлением основной взаимосвязи >между свойствами независимости по предпочтению и по полезности. Эта взаимосвязь будет установлена в § 6.7. В качестве достаточного условия мультипликативности или аддитивности получаемой функции полезности Поллак (1967) использовал условие 2, а Мейер (1970) <— условие 3. Относительно условий 4 и 5 необходимо заметить, что, как следует из их смысла, они могут использоваться лишь при наличии по !Крайней мере трех факторов.
При использовании условий 2—5 количество допущений, подлежащих проверке, возрастает линейно по мере роста числа фак-
Предыдущая << 1 .. 121 122 123 124 125 126 < 127 > 128 129 130 131 132 133 .. 261 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed