Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим наиболее общий для этого раздела случай.
*> Иначе говоря, «константы» шкал, -используемых для измерения полезности.
277
Результат 4. Если факторы X2 и Xz независимы по полезности от дополняющих их множеств факторов {Хи Xz} и {Ль X2}, то
и(*ь X29 Xz) =kiUl(Xl)+f2 (Xi)U2[X2) +fz (X1)Uz(Xz) +
+ f2z(Xl)u2(X2)Uz(Xz)9 (6.11)
где
ї2(ХіУ=и(хи X*2l X°z)—U(Xi9 Х°2і X°z)9
fz(Xi)=u(xu Х°2) X*z)— U(Xi9 х°2і X°z)\
f2$(xi)= и(хІ9 x*2i x*z)—u(xu x*29 x°z)—u(x[9 X°29 X*z)+u(xl9 X°2l X°z). В выражении (6.11) каждая из функций полезности, как обычно, шкалирована от 0 до 1, при этом предполагается, что (х*и x*2f x*z)
"является наилучшим последствием, а (х°и х°2> х°3)—наихудшим.
' Если /2> /з и /23 представлены в определенной функциональной форме, тогда из выражения (6.11) легко могут быть получены выражения (6.7), (6.8) или (6.10). Это значит, чтох аддитивная, мультипликативная и полилинейная функции полезности являются частными случаями выражения (6.11). В случае скалярных факторов для каждого из результатов 1—4 последствия, чья предпочтительность подлежит эмпирической оценке, могут быть изображены графически. Такие иллюстрации представлены на рис. 6.1, где жирные линии и точки указывают те последствия, которым необходимо дать оценку, используя одну и ту же шкалу.
/
Xf X7 Xf
Результат?
*хг
X7 Xf
Результат 2
Xf ujf
Результата
Xf Xf
Результата
Рис. 6.1. Последствия, подлежащие эмпирической оценке при определении функций полезности рассматриваемого вида в трехмерном случае
В оставшейся части настоящей главы для функций полезности, зависящих от п аргументов, приводятся результаты, аналогичные результатам этого параграфа. Поскольку рассматривается случай трех и более факторов, могут использоваться также «перекрывающиеся» наборы допущений о независимости по полезно-
278
сти и по предпочтению, которые, однако, не «содержатся» друг в друге. Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, которая не имеет места «в случае двух факторов.
Результат 2 и используемые в нем допущения показывают, что привлечение таких перекрывающихся условий независимости может оказаться плодотворным. В следующих трех параграфах будут исследованы возможности использования подобных перекрывающихся условий независимости и доказаны общие теоремы для многомерных функций полезности.
6.3. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ *)
Одним из наиболее важных результатов теории полезности в многофакторном случае является установление условий, позволяющих сделать заключение о том, что функция полезности является аддитивной или мультипликативной. Определим сначала свойство взаимной независимости по полезности, которое является достаточным условием для справедливости формулируемого ниже основного результата. После формулировки и доказательства этого результата будет предложено несколько более слабых наборов допущений, выполнение которых влечет за собой оправданность допущения о взаимной независимости по полезности.
Определение. Факторы Xx, X2, Xn называются взаимонезависимыми по полезности, если каждое подмножество факторов из множества {Xi, X2, Xn} не зависит по полезности от своего дополнения.
Теорема 6.1. Если факторы Хь X2, Xn являются взаимонезависимыми по полезности, то
п п
"W = S ki Ui + k J] ki kJUi (Xi) UJ (Xj) +
j>\ '(6.12)
+k2 2 kt kJ ki ut (xi) uj (xj) ui (xi)+
i=L j>i, l>j
+ ... + kn~l kxk2... kn U1 (X1) U2 (X2) ...Un (Xn),
где
1. и нормализована условиями u(x°x, х% x°n) = 0 и u(x*h x*2, x\) = \.
2. щ(Хі) — условная функция полезности для фактора Xi, нормализованная условиями Ui(x°i) = Q и Ui(x*i) = l, 2, п.
3. ki = u(x*i, X і).
4. k — шкалирующая константа **>, определяемая из уравнения
. 1+*= П (l+kki).
*> Материал этого раздела является адаптацией работы Кини (1974). **> Процедура нахождения значения параметра k приведена в приложении 6Б в конце настоящей главы.
279
It
Предварительное замечание. Бели ??г=1, то k = 0 и !выражение (6.12) сводится к аддитивной функции полезности вида
п
U(X)=I1 kiUi(xi). (6.13)
1=\
С другой стороны, если 271Z=I^i=T1M, то кфЪ и обе части выражения (6.12) можно умножить на k и прибавить единицу 1K обеим частям. Вынося за скобки общие сомножители в правой части, получаем
'ku(x) + l=Il[kkiUi(Xi) + l]. (6.14)
Когда параметр k в выражении (6.14) положителен, функции u'(x) = l+\ku(x) и u'i(Xi) = l+kkiUi(X{) являются функциями полезности на соответствующих областях определения и
u'(x)=&u'i(Xi).
Если параметр k отрицателен, функции и'(х) =—{&«(#)+ 1] и и!і(Xi)= — [1 +kkiUi(xi)] являются функциями полезности для факторов X и Xi соответственно и поэтому
—и'(х) -(—I)MI U^(Xi).
Таким образом, выражение (6.14) можно считать мультипликативной функцией полезности.
Доказательство. Свойство взаимной независимости по полезности по определению подразумевает, что A^eUI для /= = 1, 2, п—1. Следовательно,
и(х) =u(xi) +Ci(Xi)u(Xi)t t=l, 2, п—\. (6.15)
Устанавливая все Хі = х°і, кроме Х\ и Xjt / = 2, 3, п—1, получаем равенство
U(XU Xj) = U(X1) +C1 (X1)U(Xj) = U(Xj) +Cj(Xj)U(X1)
