Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
и(у, у) Ч(у) +g(y)u(y, у') для всех у и у, (6.5)
где функция g всегда положительна, а у'_—произвольно выбранное, но фиксированное значение фактора У. В общем случае функции / и g зависят от выбранного значения у, но не зависят от переменной у.
На протяжении всей этой главы, как отмечалось ранее, для простоты функция полезности будет считаться шкалированной в пределах от 0 до 1. Таким образом,
и(у°, у°)=0, и(у*,у*) = 1 где у° и #° — наименее предпочтительные значения факторов У и Р, а у* и у* — наиболее предпочтительные значения тех же
275
факторов. Тогда, вычислив значение выражения (6.5) в точке у°9 найдем, что /(у)=и(у°, у), поэтому условие (6.5) можно переписать в виде
и(У> В) =»(У°> У) +g(9)u(y, у0), (6.6);
подставив в выражение (6.5) значение у\ равное у°. Выражения (6.4) и (6.6) *> будут использоваться в дальнейших доказательствах.
6.1.3. Структура главы. В следующем пункте приводится несколько теорем представления для случая трех факторов. Эти теоремы, во-первых, характеризуют !некоторые положения, используемые при построении многомерных функций полезности, во-вторых,-указывают вид ожидаемых результатов и, в-третьих, облегчают обоснование результатов остальной 'части главы. В § 6.3—6.5 приведены различные функциональные виды функций полезности для п факторов, обусловленные различными наборами условий независимости по предпочтению и по полезности. В этих же параграфах приводится описание процесса построения таких функций полезности. В § 6.7—6.10 обобщаются и связываются воедино понятия независимости по предпочтению и по полезности. В § 6.11 допущения об условных предпочтениях используются для распространения полученных результатов на иерархические структуры факторов. Знакомство с § 6.1—6.6 (даже и без знакомства с доказательствами) облегчит для читателя переход к изучению последующих глав.
6.2. ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ В СЛУЧАЕ ТРЕХ ФАКТОРОВ
В этом параграфе будут приведены и проиллюстрированы четыре результата, полученные для трехмерных функций полезности. Доказательства этих результатов опущены, так как сами эти результаты являются частными случаями теорем, которые будут сформулированы и доказаны ниже в этой же главе. Изложение результатов начинается с весьма частного случая (в смысле того, насколько ограничительны используемые допущения), затем рассматривается некоторое ослабление ограничений, и, наконец, анализируется самый общий случай.
Результат 1. Если предпочтительность лотерей на Хи X2 и Xz зависит только от задаваемых рассматриваемыми лотереями маргинальных распределений вероятностей для этих факторов и не зависит от их совместного распределения вероятностей, то
и(хи x2f X3) =Mi(*i) +k2u2(x2) +UzU(X2). (6.7J'
Выражение (6.7) представляет собой аддитивную функцию полезности для трех факторов. Все функции полезности и, щу U2 и иг могут быть шкалированы от 0, до 1, a kiy i=l, 4, представ-
*) Понятие о независимости по предпочтению и независимости по полезности, можно обобщить так, чтобы охватить случай «обращения» предпочтений. Более подробно см. приложение 6А.
276
ляют собой «шкалирующие» константы *>. Используя более слабый набор допущений, получим
Результат 2. Если фактор Xi не зависит по полезности от {X29 Xz}, a {Ji, X2} и {Xi, Xz} не зависят по предпочтению от факторов Xz и X2 соответственно, то
u(xu X2, Xz) =kiUi (XX)+k2U$(x2) +kZUz{Xz) +kkik2Ux (Xi)U2(X2) +} + kkikzUi (Xi) U^(Xz) +kk2kZU2 (X2) Uz (X3) +k2kik2k3Ui (Xi)U2(X2)Uz(Xz).
(6.8)
Обозначения u, щ и к\ в выражении (6.8) имеют тот же смысл, что и в выражении (6.7); к— дополнительная «шкалирующая» константа. Очевидно, если ?=0, то выражение (6.8) сводится к аддитивной форме (6.7). Если ИФО, тогда, умножая обе части выражения (6.8) на к, прибавляя 1 и вынося за скобки общие множители в правой части, получаем мультипликативную функцию полезности
з
ku(xx, х2, xs) + l= Tl [ккіЩ(ХіУ+1]. (6.91*
Следует отметить два важных момента, касающихся результата 2: во-первых, в нем использованы оба допущения — о независимости и по полезности, и по предпочтению, во-вторых, эти допущения связаны с «^перекрывающимися» множествами факторов* Оба эти обстоятельства весьма важны для определения многомерных функций полезности. При формулировке данного результата использовались обозначения U2 и uz, так как неявно предполагалось, что может быть доказана независимость по полезности факторов X2 и Xz от дополняющего множества факторов.
Перейдем к более общему случаю.
Результат 3. Если каждый из факторов Xi, X2 и Xz не зависит по полезности от дополняющего его множества факторов, то
U(XU X2, Xz) =kXUi(Xi) +k2U2(X2) +^zUz(Xz) + + ki2k{k2Ui (Xi) U2(X2) +ki$kikzUj(Xi)Uz(XB) + +^23^2^2(^2)^3(^3) +*123*1*2*3«1 (*1) U^(X2)U3(Xz). (6.10)
Здесь функции U9UuU2^Uz и шкалирующие константы ku k2 и k$, определены так же, как и ранее. Кроме того, необходимо оценить дополнительные константы Aj2, &із, *2з и &12з. Выражение (6.10) представляет собой полилинейную функцию полезности для трех факторов. Очевидно, что как мультипликативная, так и аддитив-. ная функции полезности являются частными случаями полилинейной функции полезности.
