Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Построение условных функций полезности. Следующим эта* пом явилось построение условной функции полезности для последствий (уу 0)*). В процессе построения легко было установить, что предпочтительность таких последствий монотонно убывает по у. Ранее было выявлено, что лотерея <(10, 0), (0, 0)> равноценна детерминированному исходу (6,5; 0). Дополнительно было найдено, что лотерея <(6,5; 0), »(0, 0)> равноценна исходу (4, 0), а лотерея <(10, 0), (6,5; 0)> —исходу (8,5; 0). Отсюда возникло предположение, что условная функция полезности последствий (уу 0), обозначаемая дальше через uY (у> 0), отражает несклонность к риску. Начало отсчета и единица измерения функ-
*> Более строго можно было бы сказать, что условная функция полезности определялась для области {(#, 0):0^^/^10}. Вместо применяемого в тексте обозначения (у, 0) более правильно было бы использовать обозначение <•. 0).
268
ции иу (уу O) были произвольно установлены следующими равенствами:
uY(0t 0)=0, (5.96);
wy(10, 0)=-1. (5.97)1
Точки, соответствующие этим значениям функции полезности, нанесены на график (см. рис. 5.22,а). Для простоты была выбрана функция полезности вида Ь(\—ес^). Значение параметра с установлено из равноценности лотереи <'(10, 0), (0, 0)> и исхода (6,5; 0). Из выражения (5.97) определено значение параметра o« Окончательно функция полезности приняла вид
uY(y, 0) = (1/2,67) (1-е°'13*>), (5.98):
который показан на рисунке.
/70У7ЄЗНОС/77С/ &7Я 0#ШО/7СГ ЯОЛЄЗЯОСЯ7и ОЛЯ 0а#/?7Ор<?
Рис. 5.22. Функции полезности в задаче о запасе крови в больнице
Найденная функция хорошо описывала значение полезности и в других точках, найденных эмпирическим путем. Поскольку значения параметров Ъ и с положительны, функция полезности является монотонно убывающей и отражает несклонность к риску.
Аналогично, при построении условной функции полезности ^z(O, г) было установлено, что лотерея <(0, 10), (0, 0)> равноценна исходу (0; 5,5), лотерея <(0; 5,5), (0, 0)> — исходу (0, 3)', а лотерея <(0, 10), (0; 5,5) > — исходу (0, 8). С учетом шкалирующих условий
Uz(O9 0)=0, (5.99)Г
U2(O9 10)=-1 (5.100)
были найдены значения функции полезности, которые показаны на рис. 5.22,6. В соответствии с полученной кривой была построена,следующая функция полезности:
U2(O9 2) = (1/0,492)(1—е0'04*). (5.101):
269
Оценка шкалирующих констант. Следующим шагом в проведенной процедуре построения функции полезности являлось согласование шкал для измерения функций uY(y9 0) и Uz(Oy z). При этом было установлено, что последствие (0, 10) предпочтительнее последствия (10, 0), последствие (2, 0)—предпочтительнее последствия /(0, 10) и, наконец, что последствие (0, 10) равноценно последствию (4,75; 0). Таким образом, появилась возможность выбрать единую шкалу функции полезности для последствий (У, Z). Функцию полезности, измеряемую с помощью этой шкалы, будем обозначать через и (у, z). Для этого сначала положим
u(0t 0)=0, (5.102)
w(10, 10)=-1 (5.103)
и определим kY и kz следующими равенствами:
«(10, O)=^y, (5.104)
U(O9 1O)=^z. (5.105)
Из выражений (5.96), (5.97), (5.102) и (5.104) следует, что
u(y90)=^kYuY(y9 0). (5.106)
Аналогично, из выражений (5.99), (5.100), (5.102) и (5.105) вытекает, что
u(0t z)=-^kzuz(09 г). (5.107)
Известно также, что w(4,75; O)=U(O9 10), откуда, используя выражения (5.100), (5.106) и (5.107), получаем
—kYuY(4,75; O)=^k2U2(O9 10)=ifez. (5.108)
Из выражения (5.98) находим uY (4,75; O)=—0,32. Подставив это значение в выражение (5.108), имеем
kz=09S2kY. (5.109)
Поскольку факторы YhZ взаимонезависимы по полезности, -функция и(у9 z) имеет вид ^
и(у, z) = u(y9 0) + и(0у z) +
U(IO9 10)-,(0, 10)-^(10, Q) и{ 0)и(0 г)ш (5 И0)
^ «(10, 0)w(0, 10) Uf» / \ » / . V /
Подставляя в выражение (5.110) значения функций из выражений (5.98), (5.101), (5.106),)(5.107) и (5.109), получаем
-(2^ (5-Ш>
*) Доказательство этого результата идентично доказательству теоремы 5.2, где вместо шкалы изменения функции и от 0 до 1 взята шкала от —1 до 0.
270
Для полного завершения процесса построения функции и(у9 z) (см. выражение (5.111)) необходимо найти еще значение только одного параметра ?у. С этой целью было установлено, что для лица, принимающего решение, лотерея <(10, 10), (0, 0)> равноценна детерминированному исходу (6, 6). Тогда, используя выражения (5.102) и (5.103), получаем
и ((6, 6) =72«(Ю, 10)+72«(0, 0)-72. (5.112)
Теперь из выражения (5.111) можно найти значение функции полезности в точке (6, 6) и приравнять его значению выражения (5.112). Отсюда
Ay=—0,87. (5.113)
Подставив полученное значение параметра ky в выражение (5.111), получим искомую функцию полезности (см. рис. 5.23)
и (у, г)= 0,32 (1—е°>13У) + 0,57 (1-е0'042) +
+ 0,107(1—е0132/) (1-е0'042). (5.114)
Проверка согласованности. Полученная функция полезности в дальнейшем была подвергнута двум видам проверки на согласованность. Сначала при помощи процедуры, отличной от использованной ранее, проверялось, действительно ли условные функции полезности отражают несклонность к риску. По мнению ли-
