Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения - Кини Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
231
вать как взаимозаменяемые. И, наконец, в аддитивном случае, когда A=O, -не существует никакой взаимной зависимости в предпочтениях между показателями YhZ.
5.5. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ЭКВИВАЛЕНТОВ
Напомним, что если задана лотерея*? (у, г), то детерминированным эквивалентом для у при фиксированном значении z называется такое значение yz, при котором
u(yZy z)=E[u(y, z)], (5.33)
где уг в общем случае зависит от z. Ожидаемой полезности Е[и(у, z)] лотереи в (5.33) трудно дать содержательную интерпретацию. Поэтому лицу, принимающему решение, для анализа ситуации часто бывает удобнее использовать последствие (yZf z), содержащее детерминированный эквивалент. Это особенно удобно в тех случаях, когда значение детерминированного эквивалента для лотерей на У не зависит от значений Z. Тогда детерминированный эквивалент можно обозначать просто символом $ без индекса z. Нетрудно заметить, что, если У не зависит по полезности от Z, тогда значение детерминированного эквивалента для у при заданном значении z в лотерее (у, z) не зависит от самого значения z. Обратное утверждение также справедливо при условии, что значение детерминированного эквивалента не зависит от значения z при всех распределениях вероятности, связанных с у.
Рассмотрим лотерею (у, z) при взаимонезависимых по полезности факторах У и Z. При этом, однако, не предполагается вероятностная независимость между случайными переменными у и z. Поскольку ожидаемое значение суммы равно сумме ожидаемых значений, ожидаемая полезность лотереи и (уу z) с учетом выражения (5.16) может быть определена следующим образом:
Е[и{у, z)]=E[u(yy z0)]+E[u(y0, z)]+kE[u{y, z0)u(y0, S)].
(5.34)
В тех случаях, когда У и Z не зависят друг от друга еще и в вероятностном смысле, выражение (5.34) принимает вид
Е[и(уу z)]=E[U(y, z0)]+E[u(tjo, z)]+kE[u{y, z0)u(y0, г)].
'(5.35)
откуда, используя (5.33), получаем
E [и (у, Z) ] = и ($, Z0) + и (г/о, z) +'ku (у, Z0) и (уо, i). (5.36)
Этот результат может быть сформулирован в виде следующей теоремы.
*) Лотерею на YxZ, у которой исходы отличаются значениями компоненты у и ,имеют одинаковое значение компоненты z (т. е. недетерминированное значение у входит совместно с детерминированным г), будем обозначать^(у, г). Предполагается, что вероятностная мера задана для случайных значений (случайного переменного) у.
232
Теорема 5.5. Пусть дана лотерея (у, х). Детерминированные эквиваленты Qui для лотерей у и z соответственно могут быть отдельно вычислены при помощи маргинальных распределений вероятностей на у и z, а .{у, і) является суммарным детерминированным эквивалентом для лотереи (у, z), если выполняется одно из следующих условий:
1. Факторы одновременно являются и взаимонезависимыми по полезности и независимыми в вероятностном смысле.
2. Факторы являются аддитивно независимыми. Достаточность первого условия следует из выражения (5.36),
достаточность второго—из выражения (5.34), где вследствие аддитивной независимости факторов k = 0.
5.6. ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ В СЛУЧАЕ ОДНОГО НЕЗАВИСИМОГО ПО ПОЛЕЗНОСТИ ФАКТОРА *>
В предыдущих параграфах исследовались возможные способы представления и оценки функций полезности для двух факторов при таких сильных допущениях, как взаимная независимость по полезности. В этом параграфе рассматривается использование более слабого допущения, при котором лишь один фактор не зависит по полезности от другого. Будет показано, что функция полезности для двух факторов может быть задана либо тремя одномерными условными функциями полезности, либо двумя условными функциями полезности и кривой равного предпочтения, либо одной условной функцией и двумя различными кривыми равного предпочтения. Кроме того, будут выделены особые случаи этих результатов, в том числе для аддитивной и полилинейной функций.
На протяжении всего этого параграфа показатели обозначаются через KhZh используется предположение о том, что Z не зависит по полезности от Y. Другими словами, при любом произвольном значении уо функция полезности и(у, z) может быть представлена в виде
г)=сі(у)+а(у)и(у0, z)f с2(у)>0 для всех у. (5.37)
5.6.1. Построение функций полезности с помощью условных функций полезности. Начнем с иллюстрации предлагаемого подхода. Если Z не зависит по полезности от У, то функция полезности может быть полностью определена двумя условными функциями полезности для Y и одной условной функцией полезности Для Z при условии, что все эти функции согласованно шкалированы. Начнем со случая, когда У и Z представляют собой скалярные величины (см. рис. 5.7). Если установленные значения полезности последствий, расположенные вдоль жирных линий на рисунке, согласованы между собой, то этой информации оказы-
*} Материал этого параграфа является адаптированным изложением работа Кини (1971).
233
I
? f
---л- I -----\A I
!' ' -1-=*-
Sb
Рис. 5.7. Условие независимости по полезности фактора Z от У позволяет полностью определить функцию полезности и(у, z) на основе значений полезности последствий, выделенных жирными линиями
вается достаточно для оценки полезности каждого последствия. Рассмотрим, например, произвольную точку А с координатами (*/, z). Полезность последствия А может быть представлена в виде линейной комбинации полезностей ив и ис, в которой соответствующие веса определяются (поскольку Z не зависит по полезности от Y) значениями полезностей uD, иЕ и uF.
