Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
PQ при Q стремящемся к Р" О А и Af х
вдоль кривой. Посмотрим, что ф 33
означает существование этого предельного положения.
На фиг. 33 P—фиксированная точка на кривой у = ср(х), a Q — переменная точка; PM, QNпараллельны OY и PR параллельно ОХ. Обозначим координаты точки P через х и у, а координаты точки Q—через x-\-h, y-\-k, причем h будет, конечно, положительным или отрицательным, в зависимости от того, лежит N правее или левее М.
Мы предполагаем, что в точке P существует касательная к кривой, т. е. что имеется определенное „предельное положение" хорды PQ. Допустим, что PT, касательная в точке Р, образует с OX угол Тогда утверждение, что PT является предельным положением PQ, равносильно тому, что предел угла QPR при Q стремящемся к Я вдоль кривой с любой стороны равен Мы должны теперь различать два случая: общий и ясобый.
208
Глава шестая
стремится к пределу tg^. Но
RQ _NQ — MP _ у (X + К) — у (лг)
PR MN л
и, следовательно,
Hm а —о
у (лг 4- ft) — у (лг)
a
(1)
Читатель должен обратить внимание на то, что во всех этих равенствах все длины должны рассматриваться как алгебраические величины, так что, например, RQ на чертеже отрицательно, если точка Q лежит левее Р, а также на то, что стремление к пределу должно иметь место при h стремящемся к нулю с обеих сторон.
Таким образом, предположение, что кривая, являющаяся графиком ср (лг), имеет касательную в точке Р, которая не перпендикулярна оси OY, влечет за собой, что у ^йд—^-i^L стремится к пределу, когда п-*-0.
Это, конечно, означает, что оба выражения
стремятся к пределам при ft—0, принимая только положительные значения, и что эти пределы равны. Если эти пределы существуют, но не равны, то кривая имеет в рассматриваемой точке излом, как на фиг. 34.
Предположим теперь, что кривая имеет (как, например, окружность или эллипс) касательную в каждой своей точке или по крайней мере в каждой точке некоторой своей части, которая соответствует некоторой области изменения х. Далее предположим, что эта касательная нигде не перпендикулярна к оси х (если кривая — окружность, то, в силу этого условия, мы должны ограничиться рассмотрением дуги меньшей полуокружности). Тогда (1) имеет место для всех значений х из рассматриваемой области его изменения. Каждому такому значению х соответствует некоторое значение tg ф; tgfy является функцией от лг, которая определена для всех значений лг из этой области. Мы будем называть эту функцию производной от ср(лг) и обозначать ее через
V(*+ft) — <?(*) у(лг —ft)—у (лг) a ' —ft
ср' (лг).
Производные и интегралы
209
Вместо термина „производная" употребляется еще термин дифференциальный коэффициент. Операция нахождения 9' (д;) по заданной 9 (а;) называется дифференцированием. Эта терминология прочно установилась в силу исторических причин (см. п. 116).
Прежде чем перейти к рассмотрению специального случая
t}i = y , мы снабдим наше определение некоторыми общими замечаниями и приведем несколько примеров.
112. Некоторые общие замечания. (1) Существование производной функции 9'(а;) для всех значений х из интервала a^xs^b влечет за собой непрерывность 9 (х) в каждой точке этого интервала. Это ясно из
?(¦* + «) — ср (x)
того, что ' —г~
h
не может стре-
Фаг. 34
миться к пределу, если не выполняется соотношение Hm 9 (х -j- h) = 9 (х), которое означает непрерывность 9 (х).
(2) Естественно поставить вопрос, не имеет ли место обратное предложение, т. е. не будет ли каждая непрерывная кривая
иметь касательную в каждой точке и каждая функция — дифференциальный коэффициент для каждого значения х, при котором она непрерывна '). Ответ, очевидно, должен быть отрицательным: достаточно рассмотреть кривую, состоящую из двух полупрямых, исходящих под углом из точки P (фиг. 34). Читатель сразу увидит, что в этом случае .- {9(х-J-«) — 9(х)} имеет предел tgp, когда д-»-0, принимая
положительные значения, и предел tga, когда й->- 0, принимая отрицательные значения.
В этом случае можно, конечно, сказать, что кривая имеет два направления в данной точке. Но следующий пример, хотя он несколько сложнее, показывает, что существуют случаи, когда нельзя сказать, что непрерывная кривая имеет одно или несколько определенных направлений в одной из ее
точек. Нарисуем график (фиг. 13, стр. 61) функции х sin — . Эта функция
не определена при JC = O и, следовательно, разрывна при х = 0. С другой стороны, функция, определенная соотношениями
со (х) = X sin — (х ф 0), <? (х) = 0 (х -
= 0)
непрерывна при х = 0 (примеры XXXVII. 14, 15), и график этой функции является непрерывной кривой.
1J Мы отбрасываем особый случай (который нам еще предстоит рассмотреть), в котором кривая имеет касательную, перпендикулярную к ОХ; если исключить эту возможность, то эти две постановки вопроса эквивалентны.
14 Г. Харди
210 Глава шестая
*} См. также, например, П. Александров и А. Колмогоров, Введение в теорию функций действительного переменного, стр. 220—222 (изд. 3-е, ГОНТИ, 1938 г.). (Прим. перев.)
