Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
8. Показать, что xsn— 2х"аи cos 6-f-а2" равно
(х* — 2xo cos -і + a2j^x* — 2xa cos 4- a2j...
¦ ¦¦(x2-2xacos-9 + 2^-1)TC + «»)•
[Применить формулу xm — 2x"a" cos 6 + ain = {x" — a" (cos 6 + / sin 6)}{x" — an (cos 6 — і sin 6)}
и разложить каждое из двух последних выражений на п множителей.]
9. Найти все корни уравнения
Xе —2х8 + 2 = 0. (Экз. 1910 г.)
10. Задача представления значения <оп в форме, содержащей только квадратные корни, как в формуле ш3 = у (—І+'У^З), является алгебраическим аналогом следующей геометрической задачи: вписать правильный л-угольник в окружность единичного радиуса эвклидовыми методами, т. е. только с помощью линейки и циркуля. Ибо это построение будет возможно в том и только в том случае, если мы умеем строить длины, изме-
2tt . 2т:
ряемые cos— и s'n—; а это возможно в том и только в том случае, когда
эти числа могут быть представлены в форме, содержащей только квадратные корни (см. гл. II, Разные примеры, 22).
Эвклид дает построение для п = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 и 15. Очевидно, что построение возможно для любого значения п, которое равно одному из приведенных значений, умноженному на какую-либо степень 2. Существуют другие частные значения л, для которых такое построение возможно. Наиболее интересным из них является л = 17.
Гаусс доказал, что построение возможно, если л имеет вид
2г*4-1
и является простым числом. Числа 3, 5, 17, 257 и 65 537, соответствующие значениям ? = 0, 1, 2, 3 и 4, — простые, и построение, следовательно, возможно. Но k=5, 6, 7 й 8 дают значения л, не являющиеся простыми, и неизвестно, существуют ли другие простые значения, представимые в этой форме.
Простейшее построение семнадцатиугольника, данное Ричмондом, приведено в книгах: Н. P. Hudson, Ruler and compasses, стр. 34, F. and F.V. Morley, Inversive Geometry, стр. 167, и в книге Клейна, упомянутой на стр. 27*).
49. Общая форма теоремы Муавра. Из результатов предыдущего пункта следует, что если q — положительное число, то одним из значений (cos 8 -|- і sin 6)V? является
cos---Y- і sin — .
q~ q
*) См. также Адлер, Теория геометрических построений, Учпедгиз, Л., 1940, где даны другие прстрреция. (Прим- перев.)
106 Глава третья
Возводя каждое из этих выражений в степень р (где р—любое целое число, положительное или отрицательное), мы получаем, что
одним из значений (cos8-j-/sin6)p/? является cos — +'sin или что
если а — любое рациональное число, то одним из значений
(cos 6 +- і sin 6)а
является
. cos аб -j- г sin аб. Это и есть обобщенная форма теоремы Муавра (п. 45).
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ III
1. Условием равносторонности треугольника хуг является
Xі + у*-\-гг —у z — zx — ху = 0.
[Пусть треугольник будет XYZ. Смещение ZX является смещением YZ, 2
повернутым на угол -я-т в положительном или отрицательном направлении.
о
Так как Cis — = <о3, Cis--s-) = — — ">1> мы имеем х — г = (г—у) ш,' или
X—z = (z—у)и>\. Следовательно, лг + j/<o8 + 2<»? = 0 или х-\-уи>%-{-z^ = f). Утверждение следует из примера XXII. 3.]
2. Если XYZ, X'Y'Z' — два треугольника и
YZ-Y1Z = ZX-Z1X' = XY •X1Y', то оба треугольника — равносторонние. [Из уравнений
(у —z) (y' — z') = (z — x)(z' — x') = (x—y)(x' — y') = k2
мы'заключаем, что 2 "т~—, = 0 или E*'2 — ?у'г'=0. Затем используем у Z
результат предыдущего примера.]
3. На сторонах треугольника ABC построены подобные треугольники ВСХ, CAY, ABZ. Доказать, что центры тяжести ABC и XYZ совпадают.
,„ X — с у — а z — b . _
[Мы имеем г-= --=--=Х. Выразить — (лг + у + г) через
Ъ — с с — а а — Ъ 3
а, Ь, с]
4. Если X, Y, Z—точки на сторонах треугольника ABC такие, что
BX_CY_AZ_ XC~YA~ZB~r'
и если ABC, XYZ подобны, то либо г=1, либо оба треугольника — равносторонние.
5. Если А, В, С, D — четыре точки на плоскости, то
AD-BC^BD- CA + CD • AB.
[Пусть Z1, гг, zt — комплексные числа, соответствующие А, В, С, D. Тогда имеет место тождество
(Z1 — Zt) (Z2 — Z1) + (Z2 — Z1) (Z1 — Z1) + (Z3 — Zi) (Z1 — Z2) = 0.
Отсюда
I (zl — ^i) (Z2 — Z3) =| (Z2 — Z1) (Z3 — Z1) + (Z3 — Z4) (Z1 — Z2) I sg
=s? I (Z1 — Zi) (Z3 — Z1) i + I (z3 + Z1) (Z1 — Z2) |.]
Комплексные числа 107
6. Вывести теорему Птоломея о четырехугольнике, вписанном в окружность, из того факта, что двойные отношения четырех точек, лежащих на одной окружности, действительны. [Использовать тождество предыдущего примера.]
7. Если г2 + г'а = 1, то точки гиг' являются концами сопряженных диаметров некоторого эллипса с фокусами в точках 1,—1. [Если CP и CD — сопряженные полудиаметры эллипса с фокусами в S и Н, то CD параллельно внешней биссектрисе угла SPH, и SP ¦ HP = CD2.]
8. Доказать, что | a + b |s + | а — Ь |* = 2 {J а \2 + | Ь |2}. [Это соотношение является аналитическим аналогом геометрической теоремы о том, что если М — середина PQ, то OP2 + OQ2 = 2OM2 + 2MP2.]
9. Вывести из примера 8, что
!«+yV— й2| +1 a — Ya2 — P]=Ia + Ь | + \а — Ь\. [Если а +]/ а2 — Ъ* = г1У а — Ya2 — b2 = г2, то мы имеем: I *112 + !? I2= у \z^ + z2\2 + ~\z1-z2 {2 = 2\a\2 + 2ia2-b2 \, и, следовательно,
