Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
31. Комплексные функции действительного переменного. Если f (t), <?(t)— две действительные функции действительного переменного t, определенные в некоторой области значений t, мы называем
z = f{t) + iy(t) (!)
комплексной функцией от t. Мы можем графически представить ее, проведя кривую
*=/('). У = fit)-
Если z является полиномом от t или рациональной функцией от t с комплексными коэффициентами, мы можем представить z в форме (1) и так определить кривую, представленную этой функцией.
(1) Пусть
z = а + (Ь — a) t,
где а и Ь — комплексные числа. Если a = a -f а'і, Ь = ? -f ?''> 10 * = а + 0-а)*, y = a'4-(?'-a')r.
Кривая в данном случае является прямой, соединяющей точки Z = а и й. Отрезок между этими точками соответствует интервалу значений г от 0 до 1. Найти значения t, соответствующие двум остальным (бесконечным) отрезкам прямой.
(2) Если
где р положительно, то кривая является окружностью радиуса р с центром в с. Когда t пробегает все действительные значения, точка z описывает окружность один раз.
(3) В общем случае уравнение
_a + bt
Z~~ c + dt
представляет окружность. Это может быть доказано вычислением х и у и исключением t, но ведет к весьма громоздким выкладкам. Более простой метод заключается в применении результата примера 22. Пусть
z = a+?t Z = L c + dZ
Когда г- изменяется, Z описывает прямую линию, а именно, ось X. Следовательно, z описывает окружность.
(4) Уравнение
z = а + 2U 4- et2
представляет в общем случае параболу. Когда действительно, оно представляет прямую.
(5) Уравнение
_a + 2bt+ct*
Комплексные числа
103
47. Корни из комплексных чисел. До сих пор мы не припи-
лу—
сыпали никакого смысла таким символам, как у а, ат/п , где а — комплексное число, эти п—-целые числа. Представляется, однако, естественным принять определения, которые даются в элементарной алгебре для действительных значений а. Таким образом, мы опре-
деляем у а или а1/", где п — положительное целое число, как число z, удовлетворяющее уравнению zn = a, и а"1/", где т — целое число, как (а1/п)т. Эти определения не предрешают вопроса о том, существуют ли вообще корни этого уравнения.
48. Решение уравнения zn = a. Пусть
а = р (cos <р -(- і sin 9),
ГДЄ р ПОЛОЖИТеЛЬНО и ф-уГОЛ, ДЛЯ КОТОРОГО -7г ф 7г. Если
мы положим 2 = г (cos 8-]-г sin 6), то уравнение примет вид rn (cos я б -f- г sin я 6) = р (cos ф -[- і sin ср),
так что
r" = p, cos#6 = cos<p, sin я 8 = sinф. (1)
Единственным возможным значением для г является ]/р, обычный арифметический корень я-ой степени из р; а для того чтобы два последних уравнения удовлетворялись, необходимо и достаточно, чтобы я 6 ==- ф-j-где k — целое число, или чтобы
я
Если k=pn-\~q, где р и ^—целые числа и 0^q<^n, то значением 9 является 27г/? -j—У ~^я^Д"' ' и здесь безразлично, какое значение имеет р. Следовательно, уравнение
zn = a = p (cos ф -j- і sin ф)
имеет в точности я корней, даваемых выражением z= г (cos 6-f-z'sm6), где
г="/р^ Є = -?±?2!1_ (q = 0, 1, 2,..., я-1).
Что эти п корней различны, легко видеть, нанеся их на диаграмму Аргана. Корень
^p"(cosf+/sin І]
называется главным значением \f а. «
Случай, когда а = 1, р=1, ф = 0, представляет особый интерес; п корней уравнения хп=\ могут быть записаны в следующем виде:
Cos^-Hsin?^ (? = 0, 1, 2,...,я —1).
104
Глава третья
Эти числа называются корнями я-ой степени из единицы; главным
2~
значением является сама единица. Если мы обозначим cos--V-
п
-\~ і sin — через о)л, то корни я-ой степени из единицы могут быть записаны в виде
, 2 п—1
1, <»„, ю„, ш„ .
Примеры XXII. 1. Двумя квадратными корнями из единицы являются 1 и —1; три кубических кория из единицы суть 1, -^-(—1+'/3) и
i-(—1 — 11^3); четыре кория четвертой степени из единицы суть 1, /', —I, — /, и пять корней пятой степени из единицы суть
1,\\У5-1+{/ 10 + 2Vi}, 1 {- )/~5- 1 + / /10 - 2Vf\,
1{-VT-1-і/ 10-2JAf}, I{|^5-I-//lO+2V~5}.
2. Доказать, что
1 + щп + шп + • • • + = °-
3. Доказать, что
(х + у (U3 + гші) (х +у<4 + гщ) = х°- + у2 -j- г2 — у г — гх — ху.
4. Корни я-ой степени из а являются произведениями корней я-ой сте-
п,--
пени из единицы на главное значение у а.
5. Из примера XXI. 14, следует, что корнями уравнения
2» = a-j-?/
являются числа
причем одинаковые или разные знаки надо брать в зависимости от того, является ли ? положительным или отрицательным числом. Показать, что этот результат совпадает с результатом из п. 48.
6. Показать, что
x*m — а2т Xі — o2~~
равно
(х* — 2ахcos -^- + в»j^x2 — 2«лг cos |- +a2j.. .(х2 — 2«лгcos* + «2^ .
[Делителями лг2т— а2т являются
(х—а), (х — ао>2т), (X — ао)|от), —«0?-1).
Делитель x — єсть лг-j-o. Произведение делителей (X—«(Ug^"-*) и
(х — a<«|„j) дает делитель х2 — 2(ix cos — -f. а2,]
Комплексные числа
105
7. Аналогичным образом разложить на множители
д-аот+1 _ д*"*+^ хгт -\- a2m, xim+1 -j- aim+1.
