Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
-Ъ
ат-
¦¦<АРВ,
Фиг. 23
если в левой части выбрано главное значение амплитуды. Если окружности, изображенные на фигуре, одинаковы, z, Z1, г\ являются аргументами точек Р', Pp P1 и <АР5=6, то легко видеть, что
am
z' ¦
Z1- Ъ
= -9,
am-
Z1-Ь
-гс 4-0.
Геометрическое место, определенное уравнением
am
= 9,
где 9 постоянно, является дугой АРВ. Заменяя 9 получаем три остальные дуги окружностей.
7 Г. Харди
на it -
¦9, -9, -a+Є»
98
Глава третья
Система уравнений, получаемых в предположении, что 0 является параметром, изменяющимся от — те до те, представляет систему окружностей, которые могут бить проведены, через точки А и В. Следует, однако, отметить, что каждая окружность должна быть разделена на две части, которым соответствуют разные значения 6.
20. Рассмотрим теперь уравнение
Iz — *
z — a
Л, (1)
где X— константа, не равная 1.
Пусть К будет точкой, в которой касательная к окружности ABP в точке P пересекается с AB. Тогда треугольники KPA и KBP подобны н, следовательно,
AP = РК _КА __ 1 PB ~ BK ~ KP ~ X '
Отсюда мы видим, что J^ = ~^*~> и» таким образом, точка К—одна и та же
для всех положений Р, удовлетворяющих ураннению (1). Кроме того KP2 = KA • KB и, следовательно, является константой. Поэтому геометрическим местом точек P является окружность с центром в К
Система уравнений, получаемых при изменении X, представляет систему окружностей, причем каждая окружность этой системы пересекает каждую окружность системы примера 19 под прямым углом. Когда X = I, окружность превращается в прямую линию.
Система окружностей примера 19 называется эллиптическим пучком окружностей. Система примера 20 называется гиперболическим пучком окружностей, причем А я В называются предельными точками этого пучка. Если X очень велико или очень мало, то соответствующие окружности очень малы и содержат внутри себя А или, соответственно, В.
21. Дробно-линейные преобразования. Рассмотрим уравнение
Z = Z + а, (1)
где z = x-\-yi и Z — X-\- Yi-два комплексных переменных, которые мы предположим представленными на двух плоскостях хоу, XOY. Каждому значению z соответствует одно значение Z, и наоборот. Если a = a + ?/, то
х = Х + а, y = Y+$,
и точке (лг, у) соответствует точка (X, Y). Когда (лг, у) описывает какую-либо кривую в плоскости хоу, (X, Y) описывает кривую в плоскости XOY. Таким образом, каждой фигуре в одной плоскости соответствует фигура в другой плоскости. Переход такого рода от фигуры в плоскости хоу к фигуре в плоскости XOY с помощью соотношения типа (1) называется преобразованием. В данном случае соотношение между соответствующими фигурами определяется очень легко. Фигура в плоскости XOY совпадает по размерам, форме и ориентации с фигурой в плоскости хоу, но она сдвинута на расстояние а влево и на расстояние g вниз. Такое преобразование называется параллельным переносом. Рассмотрим теперь уравнение
z = pZ, (2)
где р положительно. Это дает х= рХ, у = рК. Фигуры подобны друг другу и подобно расположгны относительно соответствующих начал координат, но масштаб фигуры в плоскости хоу изменен в р раз по сравнению с масштабом фигуры в плоскости XOY. Такое преобразование называется подобием. Далее рассмотрим уравнение
z = (coscp + / sin cp)Z. (3)
Комплексные числи
Ясно, что I ? | = | ,21 и что одно из значений amz равно amZ-f-tp, так что фигуры отличаются друг от друга только тем, что фигура в плоскости хоу повернута относительно фигуры в плоскости XOY иа угол ер в положительном направлении. Такое преобразование называется вращением. Общее линейное преобразование
z = aZ+b (4)
является комбинацией трех преобразований (I), (2), (3). Ибо, если|а| = р и am а—ср, мы можем заменять (4) тремя уравнениями:
Z — z'-\-b, z' = pZf, Z — (cos9 +/sincp) Z.
Таким образом, общее линейное преобразование эквивалентно комбинации параллельного переноса, подобия и вращения. Рассмотрим, далее, преобразование
z = -i. (5)
Если IZ\~R и amZ=@,то|z! = -Lи amz = — в, т. е. для перехода от
фигуры в плоскости хоу к фигуре в плоскости XOYмы должны произвести инверсию первой из них в единичной окружности с центром в начале о и затем зеркально отразить полученную фигуру относительно оси ох (т. е. построить симметричную фигуру по другую сторону от одг). Рассмотрим, наконец, преобразование
aZ-\-b .а.
z = ^Z+d' <б>
Оно эквивалентно комбинации преобразований
z=± + (bc-ad)^-, z' = ~i, Z' = cZ + d,
т. е. некоторой комбинации преобразований рассмотренных выше типов.
Преобразование (6) называется общим дробно-линейным преобразованием. Решая его относительно Z, находим:
2 dz — b cz — а'
Общее дробио-линейное преобразование является наиболее общим типом преобразования, при котором одно н только одно значение z соответствует каждому значению Z, н наоборот.
22. Общее дробно-линейное преобразование преобразует окружности в окружности. Это может быть доказано многими способами. Мы можем сослаться на известную геометрическую теорему, что инверсия преобразует окружности в окружности (которые, в частности, могут быть, конечно, и прямыми). Или же мы можем использовать результаты примеров 19 и 20. Если, например, окружность в плоскости хоу имеет уравнение
