Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
[а — b \ к
am
c — dj- 2 '
*) Числа а + У~Ь и а—\Tb, где а и b рациональны, иногда также называются „сопряженными".
коэффициенты которого действительны, имеет комплексные корт, то они могут быть сгруппированы в пары сопряженных.
Ибо из теоремы 2 следует, что если X -\~yi является корнем, то и X—yi также является корнем. Частным случаем этой теоремы является тот факт (п. 43), что корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами либо действительны, либо сопряжены.
Эта теорема иногда формулируется следующим образом: в уравнении с действительными коэффициентами комплексные корни могут встретиться только в сопряженных парах *).
Примеры XXI. 1. Доказать теорему 6 п. 45 непосредственно из определений и без помощи геометрических рассмотрений.
[Во-первых, для того чтобы доказать неравенство | z + z' \ ^ [ z \ + (z' [, нужно показать, что
V(x+x'Y+(y+yT s? Vх* +У2 + Vx'1 +у'8.
Дальше теорема легко распространяется на общий случай. Теорема является частным случаем „неравенства Минковского": см. Харди, Литтльвуд и Полна, Неравенства, гл. II, п. 2.11].
2. Единственным случаем, в котором
\z\ + \z'\ + ...= \z + z' + ...\,
является тот, когда все числа z, z', ... имеют одинаковую амплитуду. Доказать это геометрически и аналитически.
3. Доказать, что
\z-z'\^\\z\-\z'\\.
4. Если и сумма и произведение двух комплексных чисел действительны, то эти числа либо сами действительны, либо сопряжены.
5. Если
a + b V2 + (с + а V211 = А + в V2 + (с + D V2) '> где а, Ь, с, а, А, В, С, D — действительные рациональные числа, то а = А, Ь=В, с=С, d = D.
6. Представить следующие числа в виде A+Bi, где А и В — действительные числа:
+ (l±±Y fl~lY Lt*L f^+v-'Y
94 Глава третья
1J Мы предполагаем, что при обходе треугольника в направлении ABC он остается слева.
т. е. если "—2 чисто мнимо. Каково условие параллельности этих прямых?
10. Пусть вершинами треугольника являются z = a, z = p, z = t> где а, р, у — комплексные числа. Доказать следующие предложения:
(1) центр тяжести находится в точке z = -5-(0: +P + у);
о
(2) центр описанной окружности определяется соотношениями
|z-a| = |z-?| = |z-T|;
(3) три перпендикуляра, опущенные из вершин на противолежащие стороны, пересекаются в точке, определенной соотношениями
(4) внутри треугольника существует такая точка Р, что
< СВР = < Л CP = < BAP = ш
и
ctg (о = ctg Л + ctg В + ctg С.
[Для доказательства предложения (3) заметим, что если А, В, C-вершины треугольника и P — любая точка z, то условием перпендикуляр-ноств AP и ВС является (см. пример 9) то, что
Z — а
P-Y
чисто мнимо или что
Re(z-а)Re(? — t)+ Im(z — а) Im(? —т)=чО.
Это уравнение и два аналогичных уравнения, получаемых из него циклической перестановкой а, ?, т, удовлетворяются одним и тем же значением z; это следует из того, что сумма левых частей этих трех уравнений равна нулю.
Для доказательства предложения (4) возьмем ВС параллельным и направленным вдоль оси х. Тогда')
t — ? = а, а — у = — ? Cis (— С), ? — а = — Cis 5. Мы должны определить z и о) из уравнений
(z-a)(?0-a0) (Z-p)(to-po) _ (г-t)(O.-то) r- 9
(«о - «o) (P - а) («о - Po) (t - P) (г. - To) (« - Y) '
где z0, o0, Po, то обозначают числа, сопряженные с z, а, ?, т-
Складывая числители и знаменатели этих трех равных дробей и принимая во внимание, что
. , 1+•CiS 2«)
t Ctg w = , ' . 0 ,
s 1 — Cis 2(0'
мы получим:
f ctg ш (p - t) (Po - Yo) + (t - ») (то - «o) + (» - p) («о - Po)
рто — PoY + тао — то* + «Po — <*o?
Отсюда легко выводится, что ctgw равен (a2 + P + с2), где Д —площадь треугольника. А это эквивалентно нашему утверждению.
Комплексные чи ела 95
если
с
= 0.
* AB XY .,
[Требуемое условие состоит в равенстве —- (большие буквы
А С XZ
обозначают точки, аргументы которых обозначены соответствующими
. , . b—а у— х ,
малыми буквами) или -=--, что совпадает с данным условием.]
12. Вывести из предыдущего примера, что если точки х, у, z лежат на одной прямой, то можно найти такие действительные числа а, р, y, что а+Р+Т=0 и ах + ру 4- y^ = O; обратное предложение также имеет место (см. пример XX. 4). [Использовать то обстоятельство, что в данном случае треугольник с вершинами в х, у, z подобен некоторому вырожденному в отрезок прямой треугольнику с вершинами на оси ОХ, и применить результат предыдущего примера.]
13. Общее линейное уравнение с комплексными коэффициентами.
о
Уравнение az + р = 0 имеет единственное решение г=-— —, если а ф 0.
а
Если мы положим
a = a + Ai, $=Ь + Ві, z = x+yi
и приравняем действительные и мнимые части, то получим два уравнения для определения двух действительных чисел хну. Наше уравнение будет иметь действительный корень, если у = 0, что дает ах+Ь = 0, Ax + В = 0, условием же совместности этих двух уравнений является равенство
аВ — ЬА = 0.
