Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
45. Теорема Муавра. Следующие предложения непосредственно следуют из определений сложения и умножения.
(1) Действительная (или мнимая) часть суммы двух комплексных чисел равна сумме их действительных (или мнимых) частей.
(2) Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей.
(3) Амплитуда произведения двух комплексных чисел либо равна сумме их амплитуд, либо отличается от нее на 2тс.
Следует отметить, что главное значение ат(гг') не всегда равно сумме главных значений am г и am г'. Например, если г = г' = — 1 -j- і, то главное
значение амплитуды гиг' равно Но гг' = —2і, и главное значение
j f. 13
am (гг) равно —~> а не-^-тс.
Последние две теоремы могут быть выражены равенством
г (cos Q -j- і sin Q) - p (cos <f> + і sin cp) = rp [cos (6 -j- <p) -j- і sin (Q -4- cp)],
которое сразу доказывается раскрытием скобок в левой части и применением известных тригонометрических формул для cos(8-[~9) и sin (8 -j- ф). Вообще,
ty (cos Q1 sin Q1) • r3 (cos Q3 -j- і sin Q3)... r„(cos 8n-j-jsinQn) = = r,r,... /-„{COS(Q1 + Q3 + ... + 6n) + isin (Q1 + 63 + ... + 6n)}.
Особенно интересным является тот случай, когда
ri = r, = ... = r„=l, Q1 = Q3 = ^ = Qn = Q.
Мы получаем тогда соотношение
(cos 6 -j- і sin Q)" = cos и 8 -j- і sin я 8,
где n — любое положительное целое число. Этот результат известен как теорема Муавра 1). Далее, если
г = г (cos б -j- і sin 6),
то
— = — (cos Q — і sin Q). z r к '
Комплексные числа
91
Таким образом, модуль числа, обратного z, равен величине, обратной модулю z, а амплитуда числа, обратного z, равна амплитуде z, взятой с обратным знаком. Мы можем теперь сформулировать теоремы для отношения чисел, соответствующие теоремам (2) и (3).
(4) Модуль отношения двух комплексных чисел равен отношению их модулей.
(5) Амплитуда отношения двух комплексных чисел либо равна разности их амплитуд, либо отличается от нее на 2тс.
Следовательно,
(cos 8 + і sin 8)-" = (cos 8 — і sin 8)" = {cos (— 8) + і sin (— 6)}" = = cos (— nb) + і sin (— nb).
Теорема Муавра справедлива, таким образом, для всех целочисленных значений п, как положительных, так а отрицательных.
К теоремам (1) — (5) мы можем добавить еще следующую теорему, которая также весьма важна.
Фаг. 22
(6) Модуль суммы любого числа комплексных чисел не превосходит суммы их модулей.
Пусть OP, OP', ... —смещения, соответствующие некоторым комплексным числам. Проведем PQ равным и параллельным OP', QR равным и параллельным OP" и т. д. В результате всех этих построений мы достигнем некоторой точки {/такой, что
OU=OP+ ОҐ + OW' +...
Длина OU является модулем суммы комплексных чисел, соответствующих смещениям OP, OP'.....тогда сумма их модулей равна
длине всей ломаной OPQR... U, которая не меньше OU (фиг.^22).
92
Глава третья
Чисто арифметическое доказательство этой теоремы приведено в общих чертах в примере XXI. 1.
46. Приведем некоторые теоремы о рациональных функциях от комплексных чисел. Рациональная функция от комплексного переменного z определяется так же, как и рациональная функция от действительного переменного х, а именно, как отношение двух полиномов
от Z.
ТЕОРЕМА 1. Всякая рациональная функция R (z) может быть приведена к виду X-{-Yi, где X и Y—рациональные функции от X и у с действительными коэффициентами.
В первую очередь ясно, что любой полином P(x-\-yt) может быть приведен, в силу определений сложения и умножения, к виду А-{-Bi, где А и В — полиномы от х и у с действительными коэффициентами. Аналогично, Q(x -{-yi) может быть приведено к виду С-{-DL Следовательно,
может быть представлено в виде
А+Bi _ (A +Bi)(C-Di) _ AC + BD . ВС — AD . C + Di~~ (C + Di)(C — Di) ~~ C- + D1 "г C2 + /)2''
что доказывает нашу теорему.
ТЕОРЕМА 2. Если R(x-{-yi) = X+ Yi, где R, как и выше, обозначает рациональную функцию, но с действительными коэффициентами, то
R(x—yi) = X— YL
Утверждение легко проверяется для степени (x-\-yi)n непосредственным вычислением. Отсюда мы убеждаемся в справедливости теоремы для любого полинома с действительными коэффициентами. Следовательно, применяя принятые выше обозначения,
о _А — Bi_AC +J3D BC-AD .
H(X yi)— c_Di— c2 + Z)2 C* + D2 1'
причем приведение к указанному виду проводится так же, как и в предыдущей теореме, но с той разницей, что знак / всюду изменен на обратный.
Очевидно, что результаты, аналогичные утверждениям теорем 1 и 2, имеют место для функций от любого числа комплексных переменных.
ТЕОРЕМА 3. Если уравнение
a^ + a^-1+ ... 4-а, = О,
Комплексные числа 93
1-і/ ' + ' X—ji/' \\ — рі) и+ц'"
X и ja обозначают действительные числа.
7. Представить следующие функции от z = x+yi в виде X+Yi, где
X и Y— действительные функции от х и у: гг, z3, zn, L у Z+L> g"j~^z, где
а, р, у, S — действительные числа.
8. Найти модули чисел н функций в двух предыдущих примерах.
9. Прямые, соединяющие точки z = a, z = b и Z = с, z = d, будут перпендикулярными, если
