Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Эти ограничения, однако, не нужны.
Ограничение на ух -\-у.2 возникло из нашего предположения, что интервал (—X1, X2) не содержит —. Допустим, что это условие нарушено, например, предположим для определенности, что х,^>0
Предположим теперь, что X2 имеет такое значение, что интервал (—X1, х.2) значений гг не содержит точку и = —, в которой t
Х\
обращается в бесконечность. Если X1 ^> 0, то X2 должно быть меньше —, а если X1 <^ 0, то X2 должно быть больше —. В этих усло-
X і X1
виях t монотонно возрастает или убывает от 0 до
442
Глава девятая.
и X2 . Тогда, при и возрастающем от — х„ до X1, t возрастает
X1
от 0 до оо, затем меняет знак и возрастает от —со до х. Таким образом, мы имеем
Xo OD X
С da _ С* dt , С dt _
J I + м2 J l + r2~Tj 1+Т*~ —
— X1 0 — со
со о -v
С ¦dt у С dt , С dt ,
о —оо о
Следовательно,
arc tg х = arc tg -{-arc tg x.> — it,
И, no (6),
tg (Уі +Уъ) = ^ (У і +Л — *) = ig У = = X1+ Xs _ IgJf1 +tgy, 1—X1X2 I— tgy,tgya
Аналогично мы можем поступить в случае X1 <^ 0. Следовательно, (1) имеет место, если только Jf1 и уг лежат в интервале
Наконец, так как каждая часть уравнения (1) является, по (6), периодической функцией от Jf1 или от Jf2, то (1) справедливо без всяких ограничений, за исключением того, что ии_у1( HHJf21HHJf1-J-JZ2
•не должно быть нечетным кратным -^r., так как в этих случаях (1)
теряет смысл.
226. Из соотношений (1) п. 225 и (4) п. 224 мы заключаем, что
cos2!1« 1 у і— (1—tg-Vitg^)8 _ cos 0,1+3,4)_-_j_i_7(i + tgi^) _
= (cos j», cos j/2 — sin j>, sin JZ2)2
и
cos (уj -pj'2) = ± (COSy1 COSy2 — sin sin Jf2).
Для определения знака положим Jr2 = O. Уравнение сводится к следующему: COSJf1 = ±COSJf1, так-что при Jf9 = O следует брать положительный знак. Так как обе части меняют знак, когда Jf2 увеличивается иа it, то формула имеет место с положительным знаком для всех Jf2, кратных зт. Далее, обе части уравнения являются непрерывными функциями OTJf2, так что перемена знака может произойти только в том случае, когда обе части обращаются в нуль, т. е. при значениях
I I 3
...,--2 я —у,, у ~ —Jf1, у - —у,, ..., каждое из которых является
единственным в любом интервале длины тт. Так как мы видели, что в каждом таком интервале существует значение Jf2, для которого
Логарифмическая, показані, и тригонометрические функции 443
5. Доказать, что
d\n\nx (— lfra!/, , 1 1\
dx) TT= А< Г*" 1~ 2- -—-)•
(Экз. 1909 г.)
6. Если х> —1, то х*>(1 +х){ In(I+ X)}2.
(Экз. 1906 г.)
[Положить 1 +х = е? и использовать неравенство sh?>s для ?>0.]
7. Показать, что
In(I + X) X
X И (++V)In (Г+х) монотонно убывают, когда х возрастает от 0 до оо.
') Некоторые из этих примеров взяты из книги Bromwtch, Infinite series.
знак положителен, то он должен быть всегда положительным. Следовательно,
(2) cos (yt -АгУі) — cos_yt cos_y2 — sinsin уъ
и соответствующая формула для sin (yt -j-_y2) доказывается аналогично.
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛ. IX »)
1. Дано, что loge = 0,4343 и известно, что 210 и З21 почти равны степеням 10; вычислить log 2 и log3 с точностью до четырех знаков.
(Экз. 1905 г.)
2. Показать, что log/t не может быть рациональным числом, если п — любое положительное целое число, не являющееся степенью 10.
[Если я не делится на 10 и log« = — , то мы имеем 10р = пЧ, что невозможно, так как 10** кончается нулем, а я? этим свойством заведомо не обладает. Если же га = 10° JV, где JV не делится на 10, то log JV, а, следовательно, и
log п = a + log N
не может быть рациональным.]
3. Для каких значений х функции In х, In In х, In In In х, .'.. (а) равны нулю, (Ь) равны 1, (с) не определены? Рассмотреть тот же вопрос для функций Ix, Их, Hlх, ... , где IX = In I XI.
4. Показать, что выражение
1пх-| *) ln(x 4-І)+ (JJIn(Jf +2)- ... +(-If In (X +л)
отрицательно и монотонно возрастает к 0, когда х возрастает от 0 до оо. [Производная этой функции равна
У(-1)г(П) 1 =____
jLiK >\rjx-{-r х(х+ 1) ... (х + Я) ' 1
в чем легко убедиться разложением правой части на простейшие дроби. Это выражение положительно, а сама функция стремится к 0 при х—ос, так как In (х+ г) = ln X + о (1) и
444
Глава девятая
8. Показать, что когда х возрастает от — I до оо, функция
принимает один и только один раз каждое значение между 0 и 1.
(Экз. 1910 г.)
9. Показать, что
1___I 1
In (Г+ x) .к ~* "2
при х— 0.
10. Показать, что
In(I 4-х) x
монотонно убывает от 1 до 0, когда х возрастает от — 1 до оо .
[Функция ие определена при х = 0, ио если мы припишем ей при x = O
значение -g-» то она становится непрерывной при х=0. Применить результат примера 6 для доказательства того, что производная отрицательна.] 11. Доказать, что
<b (х) = —¦ sin x tg x — In sec x
положительна и возрастает для 0<х< ~tz и что <Ъ (x) = O(x*) для малых х.
