Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
4°. Определение обратных функций с помощью интегралов. Имеется еще четвертый метод, которому здесь должно быть отдано предпочтение, так как он во многом повторяет наше изложение теории логарифмической функции в первой части настоящей главы. Мы начинаем с определения arctgx равенством
I*
(1) у=у(х) = arctgx = J-rq^i-
о
Это уравнение однозначно определяет значение у, соответствующего каждому действительному значению х. Так как подинтегральная функция — четная, то у является нечетной функцией от х. Далее, так как у непрерывна и строго возрастает, то, по п. 110, существует обратная функция х = х(у), также непрерывная и строго возрастающая. Мы полагаем
(2) x = x(y) = tgy.
Если мы определим г: уравнением
а
^ Г+Ї2
<з) ^ = J1-
то X(у) определена для —-^-тс<^_у<^іл.
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 439 Теперь мы полагаем
(4) cos у = yf^, ^У = yf= >
где имеется в виду положительное значение корня. Таким образом, cos_y и sin_y определены для — Y^'Cy^f^' ^огда У ~+~j >-*"*°°' и, следовательно, cosy-*-0 и sin_y—Мы определяем cos-^- т: и . 1
sin-^-TT равенствами
(5) cos-^-TC — 0, sin у Kz=I.
Тогда cosy и sin_y определены для — і- тс<^ у =sc к, a tg у — для
Наконец, мы определяем tgy, cosy и sin_y для значений у вне интервала (—T57' їгте) с помои1ЬЮ уравнений <6) tg (у + тс) = tg_y, cos (у -f- тс) = — cos ¦y, sin (у -f- тс) = — sin у, которые последовательно распространяют наши определения на интервалы (і-тс, те) ' (т^' Тте)>---> (~~ T71' —T71j' у--2"їс, —"2™я) >•••• Функция tg_y тогда определена для всех
значений у, кроме (k-\--^) я, где k — целое число. Эти значения
определением не охватываются; но tg_y стремится к -j-oo или к — оо, когда у стремится к одному из этих значений, соответственно, слева или справа. С другой стороны, cosy и sin-у определены и непрерывны для всех значений у.
Таким образом, tgy—>+co при у —> (^k -4- y) ~ — замеие —"
на -f-О знак меняется на обратный.
Чтобы убедиться в том, что cosy непрерывна при у =-^-~, заметим,
что, во-первых, cos і - = 0, по определению, во-вторых, что, по (4),
cosy —> 0 при у—<-y і: — 0, в-третьих, что cosy —0 при у—»—¦ y~+0
(также no (4)), а, следовательно, по (6), и при у — -і-к -f- 0.
Мы начали с определения acrtgx и tgy и затем определили cosy и sin у через tgy. Мы могли бы выбрать arc sinx и siny в качестве наших основных функций. В этом случае мы должны были бы определить arc sin.v в интервале (—1, 1) равенством
% dt
440
Глава девятая
где берется положительное значение корня; siny — как обратную функцию; г: — с помощью равенства
1 _ C-JtLr-
2T-—jyi— t* ' о
a cosy и tgy — соотношениями
cosy = у 1-х2, tgy = —===-(—1<х<1).
у 1 — Xі
Избранный нами путь несколько более удобен.
225. Мы теперь сформулировали все необходимые определения, а именно, те, которые выражаются уравнениями, снабженными номерами в п. 224. Дальнейшее развитие теории зависит от формул сложения.
Заметим, в первую очередь, что
(1 + х"-) (1 +У) = (1 - ху? + (X -+у)\ и, следовательно,
_dx_ і dy _ (X+y*)dx+(X +x*)dy_
Х+х^'Х+у" (I — Xyf-\-(X 4-у)*
где
_ (X-xy)d(x+y)-(x+y)d(X-xy) _ dz
(X-xyf+(x+yf 1 +Z-'
__х + У
1 — ху
Это приводит к соотношению
arc tg X -j- arc tgy = arc tg z,
но так как эти функции многозначны, то необходимо более внимательное рассмотрение. Положим
j. X1 + и, t — xt
X-X1U' X+Xit '
так что
dt__1__і Хііхі+Зх> — L+ хї ^> n
da X—X1U ' (X —X1Uf (I—X1Uf^
Таким образом, t и и изменяются в одном направлении. Когда t
1 1 А
возрастает от —оо до--, и возрастает от — до со, а когда г
X1 X1
1 1 ту
возрастает от--— до оо, и возрастает от —оо до -^r- Кроме
того, к = О, когда ^ = X1, и и = — X1, когда ^ = O1).
1J Читателю следует начертить график каждого переменного как функции другого.
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 441
когда и возрастает или убывает от —X1 до хг. Так как
1 _ _ (\—XluY_
то мы имеем arc t
du
X1 + X2
С dt
J-" da
1 — X1X3
J 1 +а2
0
— Xi
0
X2
Xl
С du
Г dn і
С da
J I+"2
J I +а" 1
J I+"2"
+ а2
u — X1 о о
= arc tg X1 -j- arc tg хг. Если мы теперь положим
у = arctgx, V1 = arctgx,, y2 = arctgx2, то-мы имеем у=у1 4-_у2 и
(U 1 у Л — г — л'і+-^ _ tgyt+tgya
(1) tg CVi+Л) — ¦*—fIT^ — T-tgy.tgy, '
что и является формулой сложения для тангенса.
Эта формула пока доказана только при некоторых ограничениях на
. 1
значения переменных, а именно, в предположении, что X2 <^— ,
Х\
если X1 ^> 0, и X2 ^>—, если X1^O. Когда X1 ^>0 и X2--
X і Xy
слева, то x-v-j-co и уг-^-утг, а когда X1^OhX2-*- — справа, то
х—*--сои _у—*---1 тт. Наши ограничения сводятся, таким образом,
к тому, что ух, у2 и -j-y2 должны лежать в интервале
(-LT LA
\ 2 2 'V •
