Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
дг8
exp.v=l +лг + 21+... . (1)
28*
436
Глава девятая
Далее, как в примере LXXXI. 7, мы докажем, что exp X ¦ ехр у = ехр (х-\-у).
Кроме того,
ехр Ii — 1 . і Л Л3 , , ...
-V- = 1 +21 + 3! +¦¦¦ = 1+P(A),
где о (А) по модулю меньше чем
+
1 а
2 і
1 г, I*
1
(2)
и, таким образом, р(Л) —»0 при Л —* 0. Следовательно, при Л —* 0, или
ехр (х + Л) — ехр л: ехр Л — 1
-—- J—^----- — = ехр x —^—т--- ехр л:
dx
ехр x= ехр x.
(3)
В частности, мы доказали, что ехр х—непрерывная функция.
Здесь мы можем продолжать рассуждения разными способами. Полагая у= ехр x и замечая, что ехр 0=1, мы имеем:
dx
г dt
и если мы определим логарифмическую функцию как функцию обратную показательной, то мы приходим к исходному пункту наших рассмотрений в начале главы.
Но мы можем рассуждать и иначе. Из уравнения (2) следует, что если п — положительное целое число, то
(ехр х)п = ехр я V, (ехр 1)" = ехр л.
„ т
если x—положительное рациональное число - . то
л '
/ т I ехр -
л
: ехр Vl = (ехр 1)"
т
и, следовательно, ехр ~ равен положительному значению (ехр 1)ш^п. Этот результат может быть распространен на отрицательные рациональные значения X при помощи равенства
ехр л: ехр (— х) = 1, и таким образом мы находим, что для всех рациональных значений х
ехр x = (ехр \ )х = ех,
где
<. = eXpl = l+l+i + y,+ ...
Наконец, мы определяем ех при иррациональном х как ехр х. Логарифм тогда определяется как обратная функция.
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 437
Пример. Исследовать аналогичным образом биномиальный ряд
1 + {'")х+(2 )*¦ + •¦•=/('«. *),
где —1 < х< 1, исходя из уравнения
/(т, х) f(m', х) =/(т 4- ш', х)
(см. пример LXXXI. 6).
224. Аналитическая теория тригонометрических функций. Мы
возвращаемся теперь к вопросу, который уже вкратце рассматривался в п. 163.
На протяжении всей книги мы считали, чго читатель знаком с элементами тригонометрии, и свободно пользовались в иллюстративных целях тригонометрическими или „круговыми" функциями cosx, sinx, tgx, .... Однако в п. 163 мы уже имели случай отметить, что основания тригонометрии не совсем так просты, как может показаться читателю, впервые знакомящемуся с ними, и что обычиое изложение теории базируется на некоторых предположениях, требующих внимательного анализа.
Имеются по крайней мере четыре очевидных метода, с помощью которых можно построить аналитическую теорию тригонометрических функций.
1°. Геометрический метод. Наиболее естественным является тот метод, при котором мы возможно более точно следуем за изложением обычных учебников, переводя применяемый в них геометрический язык на язык анализа. Мы обсуждали этот вопрос в п. 163 и пришли к заключению, что встречаемся здесь только с одной серьезной трудностью. Мы должны либо показать, что любой дуге окружности можно поставить в соответствие некоторое число, называемое ее длиной, либо показать, что любому сектору круга можно поставить в соответствие некоторое число, называемое его площадью. Выполнения любого из этих требований достаточно, чтобы строго обосновать всю тригонометрию. Обычно идут по первому из этих двух путей и основывают тригонометрию на понятии длины. Но гл. VII содержит строгое рассмотрение площадей, а не длин, и поэтому мы естественно предпочли второй путь.
2°. Метод бесконечных рядов. Второй метод, применяемый во многих курсах анализа, состоит в том, что тригонометрические функции определяются, как и показательная функция в п. 223, с помощью бесконечных рядов. Мы определяем cos X и sin X равенствами
(1) cosx=I-^-j-Ij-sinx = x — зі+fj — ••• •
Эги ряды абсолютно сходятся для всех действительных значений х, и могут быть перемножены как ряды в п. 223. Таким образом, мы пэлучаем формулу
cos (х- -.v)= cos Xcosy — sinxsiny
438
Глава девятая
и другие теоремы сложения тригонометрии. Свойство периодичности представляет несколько большие трудности. Мы можем вывести из (1), что функция cosx, положительная для малых значений л;, меняет знак один раз в интервале (0,2), скажем при х = ?; определим
число тс соотношением -g- тс = ?. Тогда легко доказать, что SiH-Lw=I,
COSTC = —1, sin 1т = 0. Равенства
cos (х -\- тс) = — cos х, sin (х -[-тс) = — sin X
следуют тогда из формул сложения. Подробное изложение теории, исходящей из этих определений, читатель найдет в книге Уиттекера и Ватсона, Курс современного анализа, т. I, Приложение А.
Эта теория вполне удовлетворительна, но она более естественна в том случае, когда мы рассматриваем cos z и sin z как функции от комплексного переменного z, чем здесь, где мы рассматриваем только действительные переменные и функции.
3°. Определение синуса с помощью бесконечного произведения. Третий метод заключается в определении sinx равенством
sinx = x(l-4Vl-^Wl Х2
Tl2 j \ 22г:2 )\ 32гс2
Этот метод имеет много преимуществ, но требует, естественно, знания теории бесконечных произведений.
