Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
15. Показать, что для больших значений х имеет место следующее приближенное равенство
-.г—,—г-тг. l+x^logt? log е - У X (X + 1) log -Г- S ^.
Применить эту формулу при X=IO для приближенного нахождения loge и оценить точность результата.
(Экз. 1910 г.)
16. Если
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 433
С і . , і ,
\ T+fi—x 5 х + 9 х
о
если —I=SCx=SSl. Вывести, что
і _ I 4-і _ _* + 21п(ТЛ2 + 1)
.- (Экз. 1896 г.)
Рассуждать, как в п. 221, и использовать результат примера XI VIII. 8. Ta-L , 11.11 ким же образом просуммировать ряд -д---7 ~> п —' " '
20. Доказать, что если вообще а и b—положительные целые числа, то
і__L_4— 1___ - Г M
a a + l> a+2b ----Jl + **
о
так что сумма этого ряда может быть найдена. Вычислить таким образом суммы рядов 1 — -^- + у —... и у —5> "8" ~'" '
222. Биномиальный ряд. Мы уже исследовали (см. m 168) биномиальную теорему
(і+*г=і+(?)*+(;),сч-...
в предположениях, что —1<^д:<^1 и что m рационально. Когда m иррационально, мы имеем
(1 Arxfi==emln{[+x)i
J (1 + хГ = -ff- ^ІП(1 m (1 +x)m-\
так что правило дифференцирования (1-\-х)т остается тем же и доказательство теоремы, данное в п. 168, сохраняет силу. Остается рассмотреть случаи x=l a X = —1. (1) Когда х=1, ряд принимает вид
і т(т—l) і т(т — \)(т — 2) ,
28 Г. Харди
17. Используя логарифмический ряд и равенства
log 2,3758 = 0,3758099..., log е = 0,4343...,
показать, что корень уравнения X = IOOlOgX приблизительно равен 237,58121.
(Экз. 1910 г.)
18. Разложить функции In cosx и In sinx — inx в ряды по степеням х до Xі, и проверить, что с точностью до этого порядка
In sin X = In X — In COS X + --= In COS -=r X.
4o 1 45 2
(Экз. 1908 г.)
19. Показать, что
434
Глава девятая
Если т -j- 1 sg 0, то общий член не стремится к нулю (см. пример LXXXIV. 3). Если m-j-l^>0, то Un имеет для достаточно больших п чередующиеся знаки и монотонно убывает к нулю, так что ряд сходится.
Для определения суммы ряда положим f(x) = (l-\-x)m, и будем писать 0 вместо а и I вместо h в равенстве (1) п. 167. Тогда мы получим
где
^^^(jpH^ _t)n_t (1 +t)m_ndt
о
Этот интеграл меньше і для больших п (так как т<^п и 1-}-1 ^iI). Следовательно,
|Яд1^1«»1-*о.
Таким образом, биномиальный ряд сходится при X=I в том и только в том случае, когда т ^>—1, и его сумма равна 2т.
(2) Когда X = —1, мы можем просуммировать первые членов ряда. Если т = 0, то сумма равна 1. В других случаях, если мы положим X = —1 и т = — р., она равна
l+, + ... + ^ + 1)-^ + '-1) = = («* + 1)(Е + 2)...(|» + я) _ (_ 1)П fm-l
(см. пример LXXXI. 5). Это выражение стремится к 0, когда т^>0„ и не стремится ни к какому пределу, когда т<^0 (см. пример LXXXIV. 3). Следовательно, ряд сходится при X = —1 в том к только в том случае, когда т^О, и его сумма равна 1, если т = 0, и равна 0, если т^>0.
Примеры XCIII. 1. Доказать, что если — 1 < дг< 1, то
1 i==l_ l^+i^x«-..., —1= = 1+1^ + 14^ + ....
2. Приближение квадратических и других иррациональностей. Пусть
УМ является квадратической иррациональностью, значение которой тре-, буется найти. Пусть ближайший к M квадрат целого числа, и пусть
M = N3 + х, или M = №¦—х, где X положительно. Так как х не превосхо-
дит ЛГ, To-j^j- сравнительно мало и УM = Лг|/ 1 — -^» может быть пред-ида
ставлено в виде ряда
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 435 который будет, во всяком случае, довольно быстро сходиться. Так, например,
yw-ywTS-.b. + J. (»)-? (»)• + ...}.
з
Проверить, что ошибка значения 8 j-g (суммы первых двух членов ряда) 3s
меньше ^p, т. е. меньше 0,003, и что это значение больше истинного. 3. Если X мало по сравнению с JVS, то
X , Nx
Ym^-X=N-
4ЛМ 2(2JVS+ дг)
__ FF піл ирымти
N1
Xі
с ошибкой порядка -j-=. Применить эту формулу к приближенному опре-
делению ^997.
4. Если M отличается от № меньше, чем на 1% каждого из этих чисел, то "у/M отличается от
-g- N + ^MN-*
N
меньше чем иа дощг- (Экз. 1882 г.)
5. Если M = № Ar X и х мало по сравнению с ЛГ, то хорошим приближением уM является
51 5 М_ 27Nx
56 ' 56 JV3 п 14 (7М + 5JV*) Показать, что если JV=IO, х=\, то это приближение точно до 16 знаков
(Экз. 1886 г.)
6. Показать, как можно найти сумму ряда
со О
где Рг(п) — многочлен степени г относительно п. [Представить Рг(п) в виде
A0 + A1Ii + Asn (я — 1) +...,
как в примере XCI. 7.]
223. Другой способ развития теории показательной и логарифмической функций. Мы наметим теперь в общих чертах другой метод исследования свойств функций е* и In лг, по своей логической структуре совершенно отличный от изложенного на предыдущих страницах. Этот метод исходит из экспоненциального ряда
Мы зиаем, что этот ряд сходится для всех значений х, и можем поэтому определить функцию ехрлг равенством