Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
219. Ряды, связанные с показательной и логарифмической функциями. Разложение ех в ряд Тейлора. Так как все производные показательной функции равны самой функции, то мы имеем
x*1
где 0<^9<^1- Но —j —О при п—>oo, каково бы ни было значение
п (см. пример XXVII. 12); кроме того, е9х<^е*. Следовательно, устремляя п к оо, мы получаем:
^=l+x-fg-f ...+? + .... (1)
Следовательно, ^+-1 > 1Ь±1. для больших п, и 2 Vn расходится.
6. Доказать, вообще, что если 2 ап— РЯД с положительными членами
и
Sn = и, + и3 +... + ип,
то 7 —— сходится или расходится в зависимости от того, сходится ли Ai sn_,
или расходится ряд J^un.
[Если 2 ия сходится, то s„_! стремится к положительному пределу / и
/ -^2- сходится. Если YjUn расходится, то s„_j —со и
~* sn-l
426
Г лава девятая
Ряд в правой части этого равенства называется экспоненциальным рядом. В частности, мы имеем
-=1 + 1+? + .--+л + - (2)
и, следовательно,
(i + i + JT + . .. + ^+... )* = -+* + ?+... + ?+.... (3)
Это соотношение называется экспоненциальной теоремой *). Мы имеем также
a* = e*i""=l+(;elna) + ^^ + ... (4)
для всех положительных значений а.
Читатель заметит, что экспоненциальный ряд обладает тем свойством, что он остается неизменным при почленном дифференцировании и что ни один другой степенной ряд этим свойством не обладает. Дальнейшие замечания по этому поводу читатель найдет в Приложении II.
Степенной ряд для е* настолько важен, что его стоит исследовать еще другим методом, не зависящим от теоремы Тейлора. Пусть
?„(*) = !+* + !+.••+?, и предположим, что x > 0. Тогда
(і+?г=і+л a+^fv)2+.. - -о-')-1^'
nj 1U/ 1-2 \nj n ^ 1-2...П \nj '
что меньше En(x), если л > 1. Если же п> х, то, по биномиальной теореме для отрицательного целочисленного показателя, мы находим, что
Таким образом,
+ <*„(,)<
Но (см. п. 215) крайние члены этих неравенств стремятся к ех при я—«сои, следовательно, En (х) также стремится к е*. Соотношение (1) доказано, когда X положительно. Что оно справедливо и для отрицательных х, следует из функционального уравнения f (х) f (у) =: f (х-\-у), которому удовлетворяет экспоненциальный ряд (см. пример LXXXL 7).
Примеры XCI. 1. Показать, что
Ch*=l+2j- + -2j + ..., ShAT=A:+ зу + gj H-----
2. Если x положительно, то наибольшим членом экспоненциального ряда является ([л:] + 1)-ый, если х не равно целому числу. В этом последнем случае л>ый и (л:+1)-ый члены равны.
*) В русской литературе этот термин не принят. (Прим. перев.)
Логарифмическая, показані, и тригонометрические функции 427 3. Показать, что
я!>(^
[Ибо 1^-. является одним из членов ряда для еп.1 1 п\ 1
4. Доказать, что
en=^!(2 + Sl + Ss)'
где
^ = TTv+ (I+V)(1I + 2Vy+— S, = (l-v) + (l-v)(l-2v) + ... и V = -!-. Вывести, что и! заключено между
»(?)¦.»,.+.,(?-
5. Применить экспоненциальный ряд к доказательству того, что ех стремится к бесконечности быстрее любой степени X.
Xя
[Использовать неравенство <?*> — .]
6. Показать, что е иррационально.
[Если бы е = ,где р и q — целые числа, то мы имели бы q +2!+3! + - ••
или, умножая на q\,
qt (?-1-1--1-
q 2! ••• q\j q + l^ (q + l)(q + 2) 1 •-'
а это равенство содержит противоречие, так как его левая часть является целым числом, а правая часть меньше
I , 1
q + l 1 (q + \f 7. Просуммировать ряд
со
о
где P1-(п) — многочлен степени г относительно я. [Мы можем представить РГ(п) в виде
Л0 + ЛіЯ + Л2п(« — I) + ... + Arn{n — 1).. .(я — r+ 1), и тогда найдем, что
со со со со
2РЛл)^=л°25+Лі2(я^г+---+^2(^^=
О 0 1 г
= (A, + Alx+... + Arxr)ex.\
428 Глава девятая
1 1
и что если Sn = Is +2s + ... + я8, то
2Sn 5=і{ix+lixi++**> Л
(Экз. 1904 г.)
2^=е> 25=2е' 2я!=;
лг» 1
1
В частности, при х = — 2 сумма этого ряда равна 0.
9. Доказать, что
ЯІ м№ м Я!
н что > где * — любое положительное целое число, равна положительному целому числу, умноженному на е.
10. Доказать, что
OO
2 да=х'г {(х* -3*+3> + у * - 3J •
[Умножить числитель н знаменатель на я -[-1 и дальше рассуждать, как в примере 7.}
11. Вычислить
j. 1 — ае'х — бе-2* — се~*х *_о 1 — аех—beiX — се**
в следующих трех случаях: 1° а = 3, Ъ = — 5, с = 4, 2° а=3, Ъ = — 4, с = 2, 3° а = 3, Ь = — 3, с = 1.
(Экз. 1923 г.)
12. Вычислить
,. ах — Ьх
lim -=—-JV дг-0 с* —d* '
если а, 6, с н d положительны w сф.&.
(Экз. 1934 г.)
13. Вывести экспоненциальный ряд из результата примера LXXXVIIL 9.
14. Если
Х0 = ех, X1 = CX-I, Xt = e*-\—x, Xa = ex-l-x-XJ,...,
то производная от X^ равна X^1. Вывести, что если t > 0, то t - t t t
X1 (t) = J X0dx < te(, Хг (O = j X1Ux < J xe*dx < e< J ardx e' O 6 о O
и, вообще, X4(t) <z --j t'• Получить отсюда экспоненциальный ряд.
8. Показать, что
OO OO
^^хп = (х + 3х' + ха)ех, 2^хп=(х + 7хг + 6х"+х*)е*
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 429
