Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
то
[Интегрировать по частям. Отсюда следует, что In можно вычислить для всех положительных целочисленных значений п.]
8. Доказать, что если п—¦ положительное целое число, то
о
7. Если
J e-Hndt =
X X
п\е-х[ех-1-х-ж-...- —
J e~xx"dx=zn\. о
(Экз. 1935 г.)
9. Доказать, что
л-
J e'fdt =. (- I)""1 п\ех \е~х - 1 + X - — + . . . + (- I)»"1 ?^}, о
и вывести отсюда, что если х>0, то е~х больше или меньше суммы пер-
X2
вых я + 1 членов ряда 1 —х~^~~2\--••• в зависимости от того, нечетно
ли п или четно.
(Экз. 1934 г.)
10. Если
ап = J e-tfdt,
о то
«л — (я + *) + (я — 1J хи„_а = 0.
(Экз. 1930 г.)
Логарифмическая, показам, и тригонометрические функции 417
е~ и R (X) dx,
где \ > О н а больше наибольшего корня знаменателя R(x), сходится.
[Это следует из того, что еХх стремится к бесконечности быстрее любой степени X.]
15. Доказать, что
J
e-^+^dx
где \ > 0, сходится при любых значениях у и что то же самое имеет место для
е~^+^х xndx,
где п — любое положительное целое число.
16. Нарисовать графики функций
e*s, е~х', хе", хе~х, хех'', хе~х*, X In х,
найти максимумы и минимумы этих функций н точки распрямления на соответствующих кривых.
17. Показать, что уравнение еах = Ъх, где а и Ъ положительны, имеет два действительных корня, если Ъ > ае, одни действительный корень, если Ь = ае, н ни одного действительного корня, если b < ае.
[Касательная к кривой у = е^ в точке (5, е"*) имеет уравнение
у — еаі=аеаі (х — ї). Она проходит через начало координат, если al=l, так что прямая у = аех касается кривой в точке ^-i-, e^j. Утверждение теперь становится очевнд-
27 Г. Харди
11. Выразить
OO OO
Im = J* хте~хcos xdx и Jn= ^ хте~хsin хdx
о о
через /„,_! и /„,_! и показать, что
Im - mlm-i + \ т (т — I)Zn,.. = О,
если т — целое число, большее 1. Определить 1т, полагая в последнем соотношении 1т = т\ ит.
(Экз. 1936 г.).
12. Показать, как можно найти интеграл от любой дробно-рациональной функции от 6х.
ГІ-Г , ¦c dx 1
[Положить х = 1п и; тогда ех=и, — = —, и интеграл преобразуется
в интеграл от дробно-рациональной функции от п.]
13. Показать, как можно проинтегрировать любую функцию вида
P (х, е0*, еЬх,cos Ix, cos тх,sin Ix, sin тх,...),
где P означает многочлен.
14. Доказать, что
418 Глава девятая
ch X ' sh X ' ch X ' sh X
Нарисовать графики этих функций.
21. Вывести формулы
ch (— х) = ch х, sh (— х) = — sh х, th (— х) = — th х, Ch2X-Sh2X=I, schsx+ thsx=l, cth2х —csch8х= 1, ch2 X = ch2 X + sh2 х, sh2 х = 2 sh х ch х, ch (х+у) = ch xchy + sh х shy, sh (х+у) = sh х chy + ch х shy.
22. Проверить, что эти формулы могут быть выведены из соответствующих формул для cosx и sinx, если писать chx вместо cosx и i'sh X вместо sin х.
[Отсюда следует, что аналогичный результат имеет место для всех формул, содержащих cos/гх и sin/zx, которые могут быть выведены из соответствующих элементарных свойств cosx и sinx. Причина этой аналогии выяснится в гл. X.]
23. Выразить chx и shx через (a) ch2x, (b) sh2x. Исследовать те случаи, в которых возможны разные знаки.
(Экз. 1908 г.)
24. Доказать, что
Dx ch X = sh х, Dx sh X = ch х, Dx th X = sch2 х, Dx cth X = — csch2 х, Dx sch X = —sch X th х, Dx csch х = — csch х cth х, Dx In ch X = th х, Dx In | sh х | = cth х,
Dx arc tg ex=L sch Xr DxIa
th 1 = csch x.
[Все эти формулы могут быть, конечно, преобразованы в формулы интегрального исчисления.]
25. Доказать, что chx^l и что — l<thx<l.
J) .Косинус и синус гиперболические"; по поводу объяснения этого наименования см. Hob-son, Trigonometry, ch. XVI (а также, например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, 9-е изд., т. 1, стр. 362. — Прим. перев.)
ным, если мы проведем прямую у = 6х. Читателю предлагается рассмотреть случаи, когда а или Ъ, или оба они, отрицательны.]
18. Показать, что уравнение ех = 1-\-х не имеет действительных корней, кроме х = 0, и что ех = 1 + х-}- у X2 имеет три действительных корня.
X5
19. Доказать, что -j- имеет два стационарных значения, одно в начале координат, а другое в точке, для которой х приближенно равно 5(1 — <гЛ.
(Экз. 1932 г.)
20. Гиперболические функции. Гиперболические функции chx, shx1),... определяются соотношениями
ch X = ~ (е* + е'х), shx = -^- (е* — е~х),
. shx i( chx , 1 . 1
th X = —. — , cth = —г— , sch = —— , csch = -
Логарифмическая, показати, и тригонометрические функции 419
26. Доказать, что если — -^- ^ < х < |- я, у положительно, и cos х ch у = = 1, то
у = In (seC X + tg Х), Dxy = SeCX, DyXr= sen .у.
27. Обратные гиперболические функции. Положим
s = sh х, t = th х, с = ch х, и допустим, что X возрастает, пробегая все действительные значения.
1°. Функция s возрастает монотонно и принимает один раз каждое действительное значение. Уравнение shx=s имеет единственное решение
х=Ы($ + У~ё~+Т),
