Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
и zv Z2.....Zn,... таких, что Нт_у„=_у и \\xazn = z. Тогда в силу
непрерывности показательной функции мы будем иметь, что
еу ¦ І =limeVn- lime2"= Hm еУп + г" = еу + г.
В частности, еу ¦ е~у = е° = 1, или е~у = -^.
Мы можем также вывести это функциональное уравнение из функционального уравнения для 1пат. Ибо если 3Z1 = InAT11^2 = InAT2,
TaK что AT1 = Єуі , AT2 = еу* , то уг -f- У2 = іп AT1 -f - In AT2 = іп AT1AT2, и ЄУі +Уг = el n = X1X^ = еУі • Єу! .
(3) Функция еу стремится к бесконечности с возрастанием у быстрее любой степени у, т. е.
\\т^- = Шуае-У — 0
при у оо для всех сколь угодно больших значений а.
Мы видели, что х~$1пх-*-0 при at оо при любом положительном а.
Полагая
1
*==>-•
мы видим, что
AT1 Hf! ATf-^O
при любом а. Утверждение доказывается подстановкой х=еу. Ясно также, что eV стремится к со, если Y^>0, и стремится к О, если Y<^0, причем в обоих случаях быстрее, чем любая степень у.
Логарифмическая, показат. и тригонометрические функции 411
х) Показательная функция была -введена обращением соотношения V= In jc в jc = ?.y, и потому мы при рассмотрении ее свойств до сих пор обозначали через у независимую, а через х— зависимую переменную. Мы переходим теперь к более обычному обозначению независимой переменной через jc, за исключением тех случаев, когда приходится рассматривать одновременно пару соотношений вида у= In х, х = еУ или когда для этого имеются некоторые другие особые причины.
Из этого результата следует, что мы можем построить „шкалу порядков роста", подобную построенной в п. 210, но простирающуюся в другом направлении, т. е. шкалу функций, которые возрастают к оо при jc —»со все быстрее и быстрее1). Этой шкалой является последовательность функций
V* v*2 v*3 пХ лЪХ рХ^ осх
Л, Л, Л, ...,KyC с , ...,с , с ,
где, конечно, поде*2, .... ее*, ... следует понимать е(*2\ е(е \ .
Читателю рекомендуется перенести замечания, сделанные в п. 210 и примерах LXXXV относительно ,логарифмической шкалы", на эту „показательную шкалу". Обе шкалы могут быть, конечно, объединены в одну (если изменить порядок в одной [из них). Этой шкалой является следующая:
In In jc, —, In дг, jc,..., ех, ее*,....
Примеры LXXXVI. І.Если Dyx — ах, то х = КеаУ, где К— постоянная.
2. Не существует решения уравнения / (у + г) ==/(у)/(г), существенно отличного от показательной функции.
[Мы предполагаем, что /(у) дифференцируема. Тогда, дифференцируя уравнение по у и по г, мы получим:
f (У+ *) = ГШ (Z), f (У+ Z) = f(y) f (*)¦ Отсюда находим, что
/' (У) __/'(*) /(У) ""/(г)'
и, следовательно, каждое из этих отношений постоянно. Таким образом, если X= f (у), то DyX = ах, где а постоянно, и х = Ке°У (см. пример 1).]
3. Доказать, что
еаУ— 1
--> а
V
при у —- 0.
[Применяя теорему о среднем, мы находим, что
еау—1=ауеа\
где 0 < І і) I < I у |.]
4. Доказать, что е* — 1 — jc, е~х — 1 -f. jc и 1 —=-jc* + -^-jc8—(1 +х)е~х— положительные и монотонно возрастающие функции при jc> 0.
(Экз. 1924 г.)
5. Доказать, что
''^Y (х"е~^)- 0 при jc—»со для всех целочисленных тип. (Экз. 1936 г.)
214. Общая показательная функция ах. Функция ах была определена только для рациональных значений х, кроме того частного
412
Глава девятая
случая, когда а= е. Рассмотрим теперь тот случай, когда а — любое положительное число. Пусть X является положительным рациональным числом — . Тогда положительное значение у степени ар/« опре-q
деляется соотношением у4 = ар. Отсюда следует, что
q\пу = рIn а, \пу=р-\па = х\па, и, таким образом,
v = e*lna.
Это равенство мы возьмем в качестве определения ах при иррациональном х. Так, например, 10^ 2 = е^2 Следует заметить, что когда X иррационально, а* определено только для положительных значений а и само положительно, и что In а* = л: In а. Приведем наиболее важные свойства функции ах.
(1) Каково бы ни было значение а,
а? ¦ аУ = ах+У и (ахУ = ахУ.
Другими словами, правила показателей имеют место как для рациональных, так и для иррациональных значений показателей. В самом деле, мы имеем, во-первых,
qX . ду __ exlna . еу Ina __ е(х-\-у) Ina __ д*+_у
и, во-вторых,
(ах)У = еУ[паХ = ехУ[па = ахУ.
(2) Если о^>1, то ах = ех1аа = еах, где а положительно. График функции ах в этом случае подобен графику е*, и ах при х—»-оо стремится к оо быстрее любой степени X.
Если о<^1, то ах = ех1па = e~F, где ? положительно. В этом случае график функции ах подобен зеркальному отображению графика ех относительно оси у, и ах стремится при х—voo к О быстрее любой степени -L.
(3) ах является дифференцируемой функцией от л: и
Dxax = Dxexiaa = ex*aa\na = a*ln а.
(4) ах является дифференцируемой функцией также и от а, причем
а а а
(5) Из свойства (3) следует, что
ах_1
Hm-= in а,
х-+0 х
так как левая часть есть значение Dxax при х = 0. Этот результат эквивалентен результату примера LXXXVI. 3,
Логарифмическая, показати, и тригономгтричгскиг функции 413
