Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
?l> ^2> ^Зі • • •i
>) Вряд лн читатель нуждается в особом напоминаннн, что мы прибегаем к этому исключительно в целях удобства изложения.
а) Эта оговорка, конечно, не нужна, если (¦ само не принадлежит к S.
Действительные переменные
37
принадлежащих к 5 и лежащих внутри интервала (S— 8, S-)-^)-Точка накопления множества 5 может сама принадлежать к S, но может к 5 и не принадлежать. Следующие примеры иллюстрируют различные возможности.
Примеры IX. 1. Если S состоит из точек, соответствующих положительным целым числам или всем целым числам, то точек накопления нет.
2. Если S состоит из всех рациональных точек, то каждая точка прямой является точкой накопления.
3. Если S состоит из точек 1, —, 4" > • • • > то имеется одна точка накоп-
L о
ления, а именно, точка 0.
4. Если S состоит из всех положительных рациональных точек, то точками накопления являются точка 0 и все положительные точки прямой.
19. Теорема Вейерштрасса. Общая теория точечных множеств представляет большой интерес и чрезвычайно важна в высших областях анализа. Но в своей большей части она слишком сложна для того, чтобы быть включенной в эту книгу. В ней имеется, однако, одна теорема, которая легко выводится из теоремы Дедекинда и которая нам понадобится в дальнейшем.
ТЕОРЕМА. Если множество S содержит бесконечно много точек и заключено целиком в некотором интервале (а, тогда по крайней мере одна из точек этого интервала является точкой накопления S.
Мы разбиваем точки прямой А на два класса следующим образом. Точка P принадлежит к L, если существует бесконечно много точек из S, лежащих справа от Я, а в противном случае точка P принадлежит к R. Тогда ясно, что условия (1) и (3) теоремы Дедекинда удовлетворяются, а так как а принадлежит к L и ?—kR, то выполнено и условие (2).
Следовательно, существует такая точка что, как бы мало ни было 8, ? — 8 принадлежит к L, a S —|— S — к R, так что интервал (?—содержит бесконечно много точек из 5. Точка ? является точкой накопления множества 5.
Эта точка может, конечно, совпасть с а илн с §, как, например, в том
случае, когда а = 0, ? = 1 и S состоит из точек 1, у, , ... . В этом
случае точка 0 является единственной точкой накоплеиня. Другое доказательство теоремы будет дано в п. 71.
РАЗНЫЕ ПРИМЕРЫ К ГЛАВЕ I
!.Каковы условия для того, чтобы ах+by+cz = 0 (1) для произвольных х, у, z, (2) для всех х, у, г, удовлетворяющих условию ах 4- §у + + ¦(Z = O, (3) для всех х, у, г, удовлетворяющих двум условиям:
a*4-?/4-yz = O и Лх + Ву + Cz = O?
2. Любое положительное рациональное число может быть представлено одним и только одним способом в виде
38
Глава первая
01+ 1-2 + 1-2-3+^+1.2-3...*' где «і, аг> ••• і % — целые числа и
О г=_ «!, О sg as < 2, О eg л, < 3, ..., О < ak < ?.
3. Любое положительное рациональное число может быть одним и только одним способом представлено в виде непрерывной дроби
, 1
«i H--j
где o1, аг.....ап—целые числа и
aiSsO, o3 > 0, «з> 0, ,..,«„_!> О, в„>1.
[Элементы теории непрерывных дробей можно найти в учебниках алгебры*), а также в книге Харди и Райта, Введение в теорию чисел, гл. X.]
4. Найти рациональные корни (или доказать, что нх иет) уравнения
9*3 — 6*» +15*— 10 = 0.
5. Отрезок прямой AB делится точкой С так, что AB • AC = BC? (так называемое золотое сечение, см. Эвклид, кн. II, 11). Доказать, что отношение AC
-V-= иррационально. AB
6. Пусть А иррационально. В каких случаях будет рационально отношение ^ ^ ^ , где а, 5, с, d рациональны?
7. Некоторые элементарные неравенства. Пусть alt а2, ... обозначают положительные чясла (включая нуль) и р, q, ... — положительные целые числа. Так как разности ар — af и а\ — я| одного знака, то мы имеем (ef — аР) (_f — _f) _5s О или
— неравенство, которое может быть также записано в виде
<+,+<+,»(_4<)(±^L). «
Повторно применяя эту формулу, мы получаем
аР + Ч + г + ... + аР + ч + г+... /аР + аР\(а1 + а%\[а[ + аг2\
и, в частности,
af + «r /«і +«а У
(3) (4)
*) См. также А. Я. Хинчин, Цепные дроби, ГТТИ, 1935; Ф. Клейи, Элементарная математика с точки зрения высшей, т. 1, ГТТИ, 1935, (Прим. перев.)
Действительные переменные
39
Когда p = q=l в (1), или р=2 в (4), эти неравенства являются просто другими формами неравенства а\ -4- а\ГЗ: 1a^av которое выражает тот факт, что среднее арифметическое двух положительных чисел не меньше их среднего геометрического.
8. Обобщения на п чисел. Если мы запишем у п (п — 1) неравенств
типа (1), которые могут быть образованы из п чисел, и сложим их, то мы получим неравенство
я E о"-'-«==* E в" E а» (5)
нли
Отсюда мы можем вывести очевидное обобщение неравенства (3), которое читатель сможет сформулировать сам, и, к частности, неравенство
¦\-*а>^(±Ъау. (7)
9. Общая форма теоремы об арифметическом и геометрическом средних. Несколько иным неравенством является то, которое выражает, что арифметическое среднее аи а3, ..., ап не меньше их геометрического среднего. Допустим, что аг и as — наибольшее и наименьшее нз этих чисел (если таких наибольших или наименьших несколько, то безразлично, какие из них мы возьмем), и пусть G будет их геометрическим средним. Мы можем предположить, что Q > 0, так как если Q = 0, то справедливость предложения очевидна. Если мы теперь заменим аг и as числами
