Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
2) В п. 6 мы имели три случая.
8) В п. 6 мы этого утверждать не могли.
Действительные переменные
35
Может быть, что L1 содержит наибольшее число а. В этом случае а должно быть также наибольшим числом в L. Ибо если бы это было не так, то мы могли бы в L найти большее число, скажем ?. Но между et и ? лежат рациональные числа, которые, будучи меньшими чем ?, должны принадлежать к L, а следовательно, и к L1, что приводит к противоречию. Следовательно, а является наибольшим числом в L.
С другой стороны, может быть, что L1 не содержит наибольшего числа. В этом случае сечение в области рациональных чисел, определяемое L1 и R1, дает действительное число а. Это число а должно принадлежать либо к L, либо к R. Если оно принадлежит к L, мы можем показать, применяя только что проведенное рассуждение, что оно является наибольшим числом в L. Аналогично, если оно принадлежит к R, то оно является наименьшим числом в R.
Таким образом, в любом случае либо L содержит наибольшее число, либо R ¦— наименьшее. Поэтому любое сечение в области действительных чисел „соответствует" некоторому действительному числу в том же смысле, в каком сечение в области рациональных чисел иногда, но не всегда, соответствует некоторому рациональному числу. Это заключение исключительно важно, так как оно показывает, что рассмотрение сечений в области действительных чисел не приводит ни к какому дальнейшему обобщению понятия числа. Исходя из рациональных чисел, мы нашли, что идея сечения приводит к расширению понятия о числе, а именно, к понятию действительного числа, более широкому, чем понятие рационального числа. Поэтому можно было ожидать, что идея сечения в области действительных чисел приведет нас к понятию еще более общему. Проведенные рассмотрения показывают, однако, что это не так, а что совокупность всех действительных чисел, или континуум, обладает некоторым свойством полноты, которым совокупность рациональных чисел не обладала. Это свойство полноты в математике обозначается термином замкнутости континуума.
Полученный результат может быть сформулирован следующим образом:
ТЕОРЕМА ДЕДЕКИНДА. Если действительные числа разбиты на два класса LuR так, что
(1) каждое действительное число принадлежит к одному и только к одному из этих классов,
(2) каждый класс содержит, по крайней мере, одно число,
(3) каждое число из L меньше любого числа из R,
то тогда существует число а, обладающее тем свойством, что все числа, меньшие его, принадлежат к L,a все числа, большие его, ¦— к R. Само число а может принадлежать к любому из этих классов.
В приложениях мы часто должны рассматривать сечения не всех чисел, а только тех, которые содержатся в некотором интервале (?, y)> т. е. всех тех чисел л:, для которых ?^^sSC?. „Сечение" таких чисел — это, само
з*
зо
Глава первая
собой разумеется, разбиение нх на два класса, обладающих свойствами (1), (2) н (3). Такое сечение может быть превращено в сечение всех чисел присоединением к L всех чисел, меньших чем ?, и к /? — всех чисел, больших чем Y- Ясно, что утверждение теоремы Цедекинда останется в силе, если мы заменим слова „действительные числа" словами „действительные числа интервала (?,t)"> и что в этом случае число а удовлетворяет неравенствам ? sg a -S Y-
18. Точки накопления. Любая система действительных чисел или точек прямой, соответствующих им, определенная каким бы то нн было образом, называется множеством чисел или точек. Множество может состоять, например, из всех положительных целых чисел или из всех рациональных точек.
Здесь чрезвычайно удобно пользоваться языком геометрии 1J. Допустим, что мы имеем некоторое множество точек, которое обозначим через 5. Возьмем любую точку S, которая может принадлежать, а может н не принадлежать к 5. Тогда существуют две возможности. Либо можно выбрать положительное число 8 так, что интервал (S — 8, S -f- 8) не содержит ни одной точки из S, отличной от S2), либо это невозможно.
Допустим, например, что S состоит из точек, соответствующих всем положительным целым числам. Если $— положительное целое число, то мы можем взять в качестве Ь любое число, меньшее единицы, н тогда осуществляется первая нз перечисленных выше двух возможностей; нли, если ? лежит посередине между двумя целыми числами, то мы можем взять любое б, меньшее половины. С другой стороны, если S состоит из всех рациональных точек, то, каково бы ни было 8, всегда осуществляется вторая возможность, ибо любой интервал содержит бесконечно много рациональных точек.
Допустим, что мы имеем дело со вторым случаем. Тогда любой интервал (S — 8, S -j- 8), как бы мала ни была его длина, содержит, по крайней мере, одну точку S1, принадлежащую к 5 н отличную от S. И это независимо от того, принадлежит ли само SkS или нет, В этом случае мы будем говорить, что S является точкой накопления S. Легко видеть, что интервал (S— 8, S —J— S) должен содержать не только одну, но даже бесконечно много точек 5. Ибо после того, как найдено S1, мы можем взять интервал (S— S1, ? —}- S1), содержащий S, но не содержащий S1, и в этом интервале, по условию, также должна содержаться точка S2, входящая в 5 и отличная от S. Очевидно, что мы можем это рассуждение повторить, заменив точку S1 точкой S8 и т. д. Таким образом, мы получаем сколько угодно точек s
