Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
где п — целое число. Таким образом, мы встретились с иррациональным числом, которое не принадлежит ни к одному из классов иррациональных чисел, рассмотренных нами до сих пор. Это число я не
Действительные переменные
является каким-либо изолированным особым случаем. Наоборот, только специальные классы иррациональных чисел являются корнями алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами, и среди них еще более специальные классы выражаются через корни из рациональных чисел.
16. Непрерывное действительное переменное. „Действительные числа" можно рассматривать с двух точек зрения. Мы можем рассматривать их как совокупность, т. е. как арифметический континуум, определенный в предыдущем пункте, или индивидуально. А когда мы рассматриваем их индивидуально, мы можем иметь в виду
какое-нибудь определенное число (как, например, 1,—-|-> V 2 или к)
или мы можем думать о любом неопределенном числе числе х. Этот последний случай мы имеем в виду, когда говорим, что ях есть число", „х есть длина" и т. д., или когда делаем такие утверждения, как „х может быть рациональным или иррациональным". Это х, которое встречается в приведенных и подобных им предложениях, называется непрерывным действительным переменным, а индивидуальные числа называются значениями переменного.
„Переменное", вообще говоря, не должно быть обязательно непрерывным. Вместо того чтобы рассматривать совокупность всех действительных чисел, мы можем рассматривать некоторую частичную совокупность, содержащуюся в ней, как, например, совокупность рациональных чисел, или совокупность положительных целых чисел. Возьмем последний случай. Тогда в предложениях, относящихся к любому положительному целому числу или к неопределенноиу положительному целому числу,' таких, как „я либо четное, либо нечетное", п называется положительным целочисленным переменным, а отдельные положительные целые числа являются его значениями.
Естественно, что ях" и „л" являются только примерами переменных: переменного, „область изменения" которого состоит из всех действительных чисел, и переменного, область изменения которого состоит из положительных целых чисел. Эти примеры — наиболее важные, но нам часто придется рассматривать и другие случаи. Например, в теории десятичных дробей мы можем обозначить через X любую цифру в выражении любого числа в виде десятичной дроби. Тогда X является переменным, но переменным, которое принимает только десять различных значений, а именно, 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Мы можем, короче сказать, что переменные, которые мы будем рассматривать, суть классы целых или действительных чисел и что значения этих переменных суть числа соответствующих классов.
17. Сечения в области действительных чисел. В пп. 4—7 мы
рассматривали „сечения" в области рациональных чисел, т. е. разбиения рациональных чисел (или только положительных рациональ-
3 Г. Хардц
Глава первая
ных чисел) на два класса LwR, обладающих следующими характеристическими свойствами:
(1) каждое число рассматриваемого типа принадлежит одному и только одному из этих классов;
(2) оба класса существуют;
(3) каждое число из класса L меньше любого числа из класса R. Ничто не мешает нам приложить эту идею и к совокупности
всех действительных чисел, что, как читатель увидит из дальнейших глав, оказывается операцией чрезвычайной важности.
Предположим1), стало быть, что P и Q — два взаимно исключающих свойства, одним из которых обладает каждое действительное число. Предположим, далее, что любое число, обладающее свойством Р, меньше каждого числа, обладающего свойством Q. Совокупность чисел, обладающих свойством Р, мы называем нижним, или левым, классом L1 а совокупность чисел, обладающих свойством Q — верхним, или правым, классом R.
Так, например, P может быть: х ^/~2, a Q: х> V 2. Важно заметить, Что пара свойств, достаточных для определения сечения в области рациональных чисел, может быть недостаточной для определения сечения в области действительных чисел. Такое положение имеет место, например, с парой
свойств: „лг<"|/~2" и ,х>У~2", или (если мы ограничимся положительными числами) „д:а<2" и „д:а>2". Каждое рациональное число обладает одним или другим нз этих свойств, но в области действительных чисел |Л 2 не подпадает под классификацию.
Теперь возможны два случая2). Либо L содержит наибольшее число /„ либо R содержит наименьшее число г. Оба эти случая не могут иметь место одновременно. Ибо если L содержит наибольшее
число / и R — наименьшее число г, то число ^(1-\-г) было бы
больше всех чисел из L и меньше всех чисел из R и, таким образом, не могло бы принадлежать ни к одному из классов. С другой стороны, один из этих случаев должен обязательно иметь место 3).
Обозначим через L1 и R1 классы, состоящие из рациональных чисел, принадлежащих, соответственно, к L и R. Тогда классы L1 и R1 определяют сечение в области рациональных чисел. Следует различать два случая.
1J Рассуждение, к которому мы приступаем, во многом похоже на проведенное в п. б. Мы не пытались избежать некоторых повторений. Идея ,сечения", впервые выдвинутая Дедекиндом в его знаменитой брошюре Непрерывность а иррациональные числа, должна быть усвоена каждым читателем этой книги, даже если он предпочел пропустить рассмотрение понятия иррационального числа, содержащееся в пп. 6—12.
