Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
Мы достаточно подробно рассмотрели основные свойства небольшого числа классов действительных чисел, таких как, например, рациональные числа или квадратичные иррациональности. Приведем несколько дополнительных примеров, чтобы показать, насколько частными являются рассмотренные специальные классы чисел, и какую, грубо говоря, незначительную часть бесконечного разнообразия чисел, образующих континуум, они составляют.
(1) Рассмотрим более сложные иррациональные выражения, как, например,
Z = V 4 + 1/15 + 1/ 4 — Ї7Ц.
Предположение существования z может быть обосновано следующим образом. Сначала, как в п. 12, мы показываем, что существует число у = 1/І5, для которого у2 = 15, а затем, как в п. 10, мы можем определить числа 4 + 1/І5 и 4 — 1/І5. Далее, рассмотрим уравнение для Zi
zl = 4 + 1/І5.
Правая часть этого уравнения иррациональна. Но те же рассуждения, которые привели нас к предположению существования действительного числа х, для которого Xа = 2 (или любому другому рациональному числу), приведут нас к заключению о существовании такого числа Z1, для которого 23 =
= 4 + 1/15. Так мы определяем 2, = l/4 + 1/І5, и аналогично определяем
22 = 1^4 — 1/І5. Наконец, как в п. 10, мы полагаем 2=-2t+2s. Легко проверить, что
23 = 32 + 8,
и нетрудно дать непосредственное доказательство существования единственного числа, удовлетворяющего этому уравнению.
В первую очередь г, если оно существует, должно быть положительно. Ибо г = — С дает С3 —3? + 8 = 0 или 3 — Са = 8/С. Но это невозможно, если С положительно, так как тогда Са<3, ?<2 и, следовательно, 8/С>4, тогда как 3 — Са < 3.
Далее, уравнение не может удовлетворяться двумя различными числами Zi и 22. Ибо, если
2? = 32,+8, 2J = 32*+ 8,
то Zi и 22 положительны и z\ > 8, zl ^> 8, или 2, > 2, 22 > 2, а это невозможно, ибо, вычитая из первого уравнения второе и деля на Zi—22, мы получаем, что
zl + Z1Z3 +zl = 3.
Таким образом, существует не более одного 2, для которого 23 = 32 + 8, и это 2 не может быть рациональным, так как каждый рациональный корень
1J Это предположение является лишь гипотезой, принятой, во-первых, в силу того, что она достаточна для целей нашей геометрии, и, во-вторых, потому, что она снабжает нас удобной геометрической иллюстрацией аналитических процессов. Так как мы применяем геометрический язык только для иллюстраций, изучение оснований геометрии не входит в нашу задачу.
32
Глава первая
этого уравнения должен быть целочисленным и делителем 8 (см. пример II. 3), но ни одно из чисел 1, 2, 4, 8 не удовлетворяет уравнению.
Мы можем теперь разбить положительные рациональные числа х на два класса L, R, в зависимости от того, будет ли хг < Злг + 8, или хг > Zx + 8. Если X принадлежит к R иу>х, то у тоже принадлежит к R, так как у >д:>2 и
_уз _ Зу _ (дз _ Зд:) == (у — д:) (у2 + 4- -«2 — 3) > 0.
Аналогично мы можем показать, что если х принадлежит к L и у<д:, то _у тоже принадлежит к L.
Наконец, ясно, что оба класса LaR существуют. Они определяют сечение в области положительных рациональных чисел, т. е. положительное действительное число z, которое должно удовлетворять нашему уравнению.
Читатель, который знает, как решаются кубические уравнения по методу Кардано, сможет найти явное выражение для z непосредственно из уравнения.
(2) Рассуждения, примененные выше к уравнению х3 = 3х-\-8, могут быть также проведены и для уравнения
хъ = х-{-16
(хотя они в этом случае будут несколько более сложными), и приведут нас к заключению, что существует единственное положительное число, которое удовлетворяет этому уравнению. В этом случае, однако, невозможно получить явное выражение для х, составленное из комбинации корней каких бы то ни было степеней. Известно (хотя доказательство этого предложения весьма трудно), что в общем случае невозможно найти такие выражения для корня уравнения степени большей четырех. Таким образом, кроме иррациональных чисел, которые могут быть выражены как чистые или смешанные квадратичные иррациональности или как комбинации корней высших степеней из рациональных чисел, существуют другие иррациональные числа, которые также являются корнями алгебраических уравнений, но не могут быть так выражены. Такие выражения могут быть найдены только в самых специальных случаях.
(3) Но даже после того, как мы прибавим к нашему перечню иррациональных чисел корни уравнений (таких, как, например, Xs = X -4- 16), которые не могут быть выражены с помощью комбинаций корней любых степеней из рациональных чисел, мы далеко еще не исчерпаем всех родов иррациональных чисел, содержащихся в континууме. Проведем окружность с диаметром ^0A1, т. е. равным единице. Естественно предположить, что эта окружность обладает некоторой длиной, которую можно .измерить. Эта длина обычно обозначается через я. Доказано (хотя доказательство также весьма сложно), что число w не является корнем никакого алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами, как, например,
тс2 = п, тс3 = я, к8 = тс -)- п,
