Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 63

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — Петроград-книгоиздательство Сеятель, 1923. — 152 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniya-geometrii.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 >> Следующая


4) В проективной геометрии (которая после Штаудта обосновывается без аксиом конгруэнтности) теорема Дезарга доказывается всегда на основании пространственных соображений. Исследования Гильберта показывают, что иначе и быть не может даже и при пользовании аксиомами непрерывности Этот результат имеет большое значение для проективной геометрии.

5) Необходимо заметить, что исчисление отрезков без аксиом конгруэнтности введено было уже Штаудтом в Beitrage zur Geometrie der Lage (Nu-renberg, 1856—60). Все последующие исчисления такого рода представляют собой видоизменения исчисления Штаудта. Приводимое в тексте исчисление отрезков Гильберта может быть проведено без аксиомы о параллельности—в проективном виде.

К г л л в e VI.

151

«) Иначе говоря, в геометрии, в которой имеют место аксиомы Ii 3< II, IV її теорема Дезарга, всегда можно без новых постулатов, с помощью определений, так расширить понятия „точка", „прямая" и ввести ионцтие „плоскость*, чтобы удовлетворить всем аксиомам I, II, IV.

Шоор дал чисто геометрическое доказательство этого предложения. Он рассматривает плоскую геометрию, в которой имеют место акси0мы I 1—3, II, IV и теорема Дезарга, и интерпретирует в ней пространственную геометрию. См.* Math. Ann. Bd. 58.

7) Гильберт, очевидно, имел в виду сказать, что теорема 'Дезцрга в плоской геометрии некоторым образом замешает исключенные пространственные аксиомы.

К главе VI.

') В подлиннике ошибочно сказано: „применимость предложений 1—5 §13" и далее—„нетрудно усмотреть также применимость предложения 6 § 13".

2) Существование не-паскалевой геометрии, в которой удовлетворены аксиомы сопряжения, порядка и параллельности, имеет громадное значение для проективной геометрии, благодаря связи между теоремой Паскаля и, г. н. основной теоремой, которая является краеугольным камнем всей проективной геометрии. Основная теорема проективной геометрии, как известно, гласит !проективность между двумя рядами точек однозначно определена, если трем точкам одного ряда отвечают заданные три точки другого ряда. При этом два рядз точек называют проективными либо в том случае, если один может быгь получен из другого путем конечного числа ііроектирований и сечений (определение П о н с е л э), либо в том, если 4 гармоническим точкам одного ряда отвечают 4 гармонические точки другого (определение Шта-удта—Geometrie der Lage. Nurenberg, 1847).

Доказательство основной теоремы, данное Штаудтом без помощи аксиом конгруэнтности, оказалось неполным, как на это указал Клейн („Uber die sogennante NiechteukUdische Geometrie". Math. An. VI). При этом Клейн указал, что для доказательства основной теоремы без аксиом конгруэнтности необходимо постулировать непрерывность прямой.

Это замечание Клейна вызвало работы Цейтена, Люрота (Mat. Ann. VII) и Дарбу (Mat. An. 17), которые дополнили доказательство Штаудта, опираясь однако скрытым образом еще на аксиому Архимеда (первые два) и на предложение, что существует пара точек, делящая гармонически две пары не разделяющих друг друга точек (Дарбу). Последнее не может быть доказано без аксиомы Архимеда.

Wiener (Jahresbericht d. Deut Math. Vereinig. Bd. I, 1891) указал, что основная теорема, если понимать проективность в смысле Понселэ, может быть доказана без аксиом конгруэнтности и непрерывности, с помощью теоремы Паскаля.

152

Примечания.

Впрочем, еще за 10 лет до Wiener'a в 1880 г. на это указал профессор К. Андреев в докладе Математическому Обществу при Харьковском университете. Профессор Андреев сделал отсюда вывод, что теорема Паскаля равноценна (в системе проективных аксиом) основном теореме проективной геометрии (в концепции Понселэ) и, следовательно, не может быть доказана без аксиом непрерывности, если не прибегать к метрическим аксиомам. (Доклад К. Андреева „Об изложении начал проективной геометрии" вышел отдельным оттиском в 1881 г.).

Wiener и Андреев не привели доказательства равноценности теоремы Паскаля и основ, теор. проект, геом., и оно было дано впоследствии Шуром (Math. Ann. 51).

Между тем, несмотря на работы Клейна и др., попытки доказать основную теорему, опираясь на одни только аксиомы сопряжения и порядка продолжались, безуспешно конечно, вплоть до появления работы Гильберта.

Работа Гильберта внесла, наконец, полную ясность в этот вопрос: если возможна не-паскалева геометрия, в которой имеют место аксиомы связи, порядка и параллельности, то, очевидно, доказать основную теорему проективной геометрии без аксиом конгруэнтности или без аксиомы Архимеда невозможно.

Связь между аксиомой Архимеда и теоремой Паскаля, раскрытая Гильбертом, делает совершенно понятным возможность доказать основную теорему проективной геометрии с помощью проективных аксиом и аксиомы Архимеда.

Заметим, что в концепции Штаудта основная теорема проективной геометрии не равносильна теореме Паскаля.

3) В подлиннике, очевидно ошибочно, сделана ссылка на друг}к> статью того же автора („Begrundung der elliptischen Geomelrie"), помещенную в том же томе, Math. Ann.
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed