Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
пу > Ь.
У *
2 <«, т.-е. принадлежит к нижнему классу; следовательно, каково бы
ни было т, всегда
,J ^ і
№ 2 < <'¦
Полагая, однако, т = In, мы получим
пу <С Ь,
что противоречит предыдущему ').
Таким образом вывод предложения Дедекинда из аксиомы полноты, который мы выше привели, теряет свою силу в ие-архимедовой геометрии.
-) Ct1Jc означает то же, что а(Яс), т.-е. катет в прямоугольном тр-ке с прилегающим острым углом а и гипотенузой ~?r.
s) Иначе говоря — составляем символы Я' [ц (va') | и Я' Lit (*''&)]¦ Так как va' =v'b . . (3), то и I1H(Iw') = ? (i''b) (гипотенуза и острый угол однозначно определяют прилежащий катет) и следовательно Я' \ц (w')] = Я' \/і (і''Ь)|. Пов-
\) Ср. Stolz. Math. Ann. Bd. 22 и 39.
К главе IV
149
торным применением нереместительного свойства легко доказать приводимую в тексте конгруэнцию. 4
4) Учение о конгруэнтности фигур и большая часть учения об окружности (кроме, например, теоремы о пересечении окружности и прямой) в обычном изложении опираются на аксиомы 1 т—3, II, HI и IV. Но в учении о подобии обычно пользуются еще аксиомами непрерывности (вспомним несоизмеримые отрезки). Обоснование, данное Гильбертом, позволяет исключить аксиомы непрерывности и из этой главы. Само собой разумеется, что этим аксиомы непрерывности вовсе не изгоняются из элементарной геометрии. Без них невозможно построить теорию измерения, невозможно также доказать упомянутую теорему о пересечении окружности и прямой. Из настоящей главы следует возможность обосновать большую часть плоской геометрии на основе плоскостных аксиом I, II, HI, IV. Однако, мы уже указывали (см. пр. 11 к главе I), что аксиомы группы III подводят'понятие симметрии под понятие конгруэнтности. Если ограничить аксиому III 5 таким образом, чтобы понятие конгруэнтности охватывало только [прямую конгруэнтность, то — рак показал Гильберт в другом месте — (Uber den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck — приложение II к немец, изданию „Оснований геометрии") — обоснование учения о конгруэнтности тр-ков на основании плоскостных аксиом невозможно без аксиом непрерывности.
6) В подлиннике ошибочно сказано: „на каждой прямой в рассматриваемой геометрии каждой системе трех вещественных чисел . . "
К главе IV-
') В статье У. Амальд'и — „Учение об эквивалентности" (Энриквес — Вопросы элементарной геометрии) термин Гильберта „Zerlegungsgleichheit" переведен equivalenza per somma — э к в и в а л е нтность через сумму, а „Inchaltsgleichcheit"—equivalenza per differenza — э к в и-валентность через разность (см. стр. 209 русского издания, прим. 19). Этот перевод, хотя и неточный, прекрасно соответствует тому содержанию, которое Гильберт вкладывает в названные понятия.
2) Координаты вершины d второго тр-ка суть t и 1 (если началом координат считать ^точку А). Координаты всех вершин любых тр-ков, на которые может быть разложен трник ABC, суть конечные числа. Поэтому, как бы мы ни составляли из них новые тр-ки. вершинами последних всегда будут точки с конечными координатами; значит, тр-к ABT) не может быть составлен таким образом.
:!) А именно—постулируется, что площади имеют свойства величин.
4) Тем не менее, можно дать такое определение равновеликое™ двух многогранников, при котором обоснование учения об объемах возможно и без аксиом непрерывности. См., напр., ст. У. А м а л ь д и,— „Учение об эквивалентности" (в сборнике Энриквеса) и В. Каган,—Основания геометрии, т. II, глава о Гильберте. Там же указана дальнейшая литература.
150
Примечания.
К главе V.
¦
') В подлиннике ошибочно сказано—„аксиома III 6".
2) В подлиннике ошибочно сказано—„удовлетворяют аксиомам Ii—2 и III.
3) Когда вершина одного угла лежит на эллипсе, это определение конгруэнтности углов не может быть сохранено, если хотят, чтобы аксиома Hl 4 имела место. В самом деле, если понимать величину угла в обычном евклидовом смысле, то наибольший угол, который может быть построен при луче В'С\ с вершиной в В', с той стороны плоскости, с которой лежит точка А (см. черт, на стр. 66) — есть угол между лучем ВГС и дугой, 'заменяющей часть прямой А' С, лежащую внутри эллипса. Таким образом угол меньший двух прямых, но больший этого предельного угла не может быть отложен в указанном направлении от луча В'С, и значит аксиома III 4 не имеет места. Поэтому Гильберг дает более общее определение конгруэнтности углов, которое сводится к тому, что два угла считаются конгруэнтными в новой геометрии, если равны отношения каждого из них (в обычном смысле) к своему смежному.
То затруднение, которого автор хотел избежать, при этом действительно устранено, однако появляется другое: каждый угол имеет два смежных. Для углов, вершины которых лежат внутри или вне эллипса, это не имеет значения, так как для них оба смежных угла конгруэнтны. Но коль скоро вершина угла лежит на эллипсе, оба смежных угла, вообще говоря, не конгруэнтны. Поэтому необходимо для определенности указать, какой из смежных углов должен войти в пропорцию, определяющую не-дезаргову конгруэнтность углов. Будем, например, считать, что для угла -JC (А, к) таковым должен быть угол, составленный продолжением луча к за вершину, и стороной к. Но в этом случае окажется, что угол -Je (к, к) не конгруэнтен углу -Jc (к, к). Таким образом вторая часть аксиомы III 4 не имеет места. Мультон, который указал на это затруднение, дал очень простую интерпретацию не-дезарговой геометрии, в которой имеют место аксиомы І і -3, II, III і—4 и V, и подтвердил таким образом вывод Гильберта. (См. F. Moult о п.—A simple non-desargu-esian plane geometry. Transactions of American Mathemat. Society, v. 3, 1902).
