Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Мур дает такую интерпретацию геометрии: будем называть точками и прямыми обыкновенные точки и прямые евклидова пространства, а плоскостями будем считать пересекающиеся сферы. В этой геометрии имеют место все аксиомы группы I и II, кроме 14, 5, б. Таким образом эти три аксиомы не могут быть выведены из прочих аксиом группы I и II. Далее Мур доказывает, что аксиомы I 4 и I 6 независимы от остальных аксиом группы I и II.
Относителько аксиомы I 5 Мур приходит к такому же выводу, что и Шур. С этим выводом вполне соглашается и В. Каган. Однако, нам он представляется недостаточно убедительным. Шур действительно показал, что если две плоскости X и х' имеют 3 общие точки, не расположенные на одной прямой, то все точки X принадлежат х' и наоборот. (Доказательство этого положения — весьма простое — заимствовано Шуром у Паша — Vorlesungen uber neuere Geometrie, S. 21-22).
К главк Ш.
147
Отсюда можно сделать вывод о тождестве плоскостей х' и х только в том случае, если плоскость представляет собой совокупность (класс) точек, т.-е. если то основное отношение между точками и плоскостью, которое Гильберт выражает терминами „определяют" или „лежат на" и т. д., является логическим отношением .,принадлежности элемента классу". Если же этого нет, то нет никаких оснований дли такого заключения. Вообще, коль скоро „плоскость" есть неопределимое понятие, нет смысла говорить о тождестве двух плоскостей, пока критерий тождества не установлен особым соглашением. Таким именно соглашением является аксиома I 5.
Как бы то ни было Гильберт, не доказал независимости своих аксиом. Систему абсолютно независимых аксиом построили впервые: О. Vehlen. — A system of axioms for geometry (Irans of Amer. Math. Soe., г. V. 1904) и В. Каган—Основания геометрии, т. I. Одесса, 11)05. См. также Е. Huntig-ton.—Л set of postulates for abstract geometry. (Math. Ann. Bd. 73, 1913).
R) Развитые здесь идеи принадлежат Клейну; см. подробнее ?. К а г а н, -Основан, геометрии, т. II, главу о Клейне, или Р. Бонола,—Неевклидова геометрия. Ст. 142—152. Петроград, 1910.
К главе III.
1) Покажем сейчас, как формально вывести предложение Дедекинда из аксиомы полноты для системы вещей, удовлетворяющих предложениям 1—17.
Предложение Дедекинда, как известно, гласит: „если все числа (т.-е. система вещей, удовлетворяющих предложениям 1 — 17) разбиты на два класса таким образом, что 1) каждое число принадлежит к одному из этих классов и 2) каждое число одного класса (нижнего) меньше каждого числа другого класса (верхнего),—то либо в нижнем классе существует наибольшее число, либо в верхнем — наименьшее". Допустим, что это предложение не имеет места в системе вещей, удовлетворяющих предложениям 1—17 и 18 (предлож. полноты). Пусть, следовательно, существует некоторое разделение чисел на два класса (будем называть его сечением), удовлетворяющее условиям 1 и 2, при чем ни в нижнем классе нет наибольшего числа, ни в верхнем — наименьшего. Отнесем такому сечению некоторую вещь а, которую будем считать меньшей всякого числа верхнего класса и большей всякого числа нижнего класса. Если каждому такому сечению отнести некоторую вещь а, /?,-}'..., то подходящими условиями относительно равенства и неравенств между этими новыми вещами и числами, а также относительно сложения и умножения этих вещей с числами и между собой, можно достичь, как известно из дедекиндовой теории иррациональных чисел, того, чтобы система чисел и новых вещей а, ?, 7... удовлетворяла всем предложениям 1 — 17 § 13. Но вещь о не есть число: она не принадлежит к нижнему классу, так как она больше всякого числа нижнего класса; она не принадлежит и к верхнему классу, так как она меньше всякого числа верхнего класса. Таким образом оказалось возможным расширить систему чисел
10*
148
Il г и M ь ч л h ii я.
новыми вещами так, что в расширенной системе имеют место все предложения 1 17 § 13. Но это противоречит аксиоме полноты: т.-е. отрицание предложения Дедекинда противоречит предложению полноты. Этим предложение Дедекинда доказано. '
Заметим, что'в^не-архимедовой геометрии расширение области чисел ,путем сечений не всегда возможно. Если числа удовлетворяют только предложениям 1 — 16 и не удовлетворяют предложению 17, то, относя каждому сечению некоторые вещи а, /:?..., мы не всегда можем подходящими соглашениями добиться того, чтобы в обтасти чисел и этих новых вещей имели месю все предложения 1 — 16.
В самом деле, если предложение 17 не имеет места, то существуют два таких числа о и Л, что
на ¦< b
при любом целом и.
Мы можем установить сечение, отнеся к нижнему классу его такие числа «„ «2, ... для которых всегда
па і <[ Ъ,
а к верхнему классу такие числа и\, а'2 ¦ ¦ а',- . . . , что при некотором а
па'і 5* Ь,
Отнесем этому сечению вещь а и допустим, что подходящими соглашениями мы добились того, что все числа и эта вещь удовлетворяют предложениям I —16.
Выберем некоторое число у такое, что
2« і/ > а.
Очевидно, у принадлежит к верхнему классу нашего сечения. Следовательно существует такое п, что
