Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
См., напр., Вельштей н,—Основан, геометр., § 12.
3) Вопрос о взаимной независимости аксиом—самый сложный вопрос учения об основаниях геометрии. Следует различать абсолютную независимость аксиом от упорядоченной независимости. Мы
К г л л в f 11.
называем систему аксиом абсолютно независимой, если любая аксиома этой системы не может быть доказана на основании всех остальных аксиом системы при любом их расположении; если же никакая аксиома не может быть выведена из предшествующих eft аксиом, то имеет место упорядоченная независимость. Упорядоченно-незавнсимая система может и не быть абсолютно независимой, но, разумеется, абсолютно-независимая система аксиом является в то же время упорялоченно-независимой.
Гильберт не ставит даже вопроса об абсолютной независимости своей системы. Он даже не пытается показать, что ею система обладает упорядоченной независимоегью, а ограничивается доказательством абсолютной независимости аксиом IV, HI 5 от всех остальных и V і от всех аксиом I—IV.
Несколько вводных фраз относительно независимости аксиом, которыми Гильберт начинает § 10 наст, соч., не отличаются ни ясностью, ни точностью, как на это справедливо указывает Каган (см. Осн. геом., т. II).
Мы не будем входить в подробности но этому поводу, т. к. в указанном труде В. Кагана читатеть найдет достаточно подробную и обоснованную критику этих положений. Остановимся только на двух пунктах, где мы должны внести некоторые поправки к рассуждениям В. Кагана.
Гильберт говорит, что „аксиомы групп I и II лежат в нашем изложении в основе прочих аксиом, так что речь идет только о том, чтобы доказать для каждой из групп III, IV и V их независимость от остальных". Это выражение^если даже оставить в стороне неясность слов „независимость групп аксиом" можно понять как утверждение, что независимость аксиом I и II й групп от остальных не может быть доказана.
Между тем это вовсе не верно.
Доказать независимость какой-либо аксиомы от прочих аксиом некоторой системы вовсе не значит обосновать некоторую геометрию на прочих аксиомах системы без испытываемой аксиомы так, чтобы ее место осталось пустым. Для доказательства независимости некоторой аксиомы от остальных достаточно построить геометрию на каких угодно аксиомах, лишь бы все аксиомы рассматриваемой системы имели в ней место, хотя бы в качестве теорем,'а испытуемая аксиома не имела места, т.-е. противоречила бы некоторым теоремам этой геометрии.
Например, аксиома 11 независима от всех остальных, и это можно доказать довольно просто.
Представим себе евклидову плоскость и на бесконечно - удаленной прямой г этой плоскости фиксируем некоторую точку Л'; назовем ее особой точкой. Прямые соединяющие любую точку плоскости с „особой" точкой назовем „особым и" прямыми. Согласимся „точками" новой геометрии называть обыкновенные точки, за исключением точек бесконечно удаленной прямой, а „прямыми" — все прямые нашей плоскости, кроме ^особых". Гомологии с осью х и центром на х будем называть „прямолинейными перенесениями'', а гомологии с центром Л; и осью, проходящей через X, — „вращениями-.
Гильберт. Основаннп геометрии. I^
146
Примечания.
„Вращения", „прямолинейные перенесения" и их произведения будем называть „движениями". Далее условимся считать ,.конгруэнтными" две такие фигуры, которые можно преобразовать одна в другую посредством „движения". Нетрудно убедиться, что в нашей новой геометрии (ее можно назвать параболо - параболической) будут иметь место все плоскостные аксиомы Гильберта, кроме І і. В самом деле, легко убедиться, что аксиомы І2 - з и Ii все имеют здесь место. Далее, аксиома IV имеет место, если условиться параллельными прямыми называть прямые, пересекающиеся на бесконечно-удаленной прямой. Аксиомы ( кон-груэтнрети имеют место, так как „прямолинейное перенесение" в этой геометрии есть обычное прямолинейное перенесение, а „вращение" есть преобразование двойствен ное (взаимное) „прямолинейному перенесению". Но аксиома 1 т не имеет места, так как если „точки" А и В лежат на „особой" прямой, то, согласно принятой терминологии, они не определяют никакой „прямой".
Распространить эту интерпретацию на пространство 3-х измерений не представляет никаких затруднений.
Система аксиом Гильберта неоднократно подвергалась критическому разбору. Шур пытался доказать, что аксиомы I 4, 5, б, могут быть выведены из остальных аксиом Гильберта I и II групп (см. Math. Аппаїеп, В. 55, 1902). ^
Мур подверг тщательному разбору соображения Шура^ статье „On the projective axioms of geometry" (Trans, of Am. Math. Soc. v. 3. 1902) и показал необоснованность упреков Шура в части, касающейся аксиом 14 и I 6. Ошибка Шура заключается в следующем: он рассматривает „плоскость" не как основное понятие, а как совокупность точек, лежащих на прямых, соединяющих некоторую точку О с точками прямой AB (не проходящей через О (см. примечание 1 к. гл. I). При таком изменении в системе основных понятий, аксиомы 14, 5, 6 действительно легко выводятся из остальных аксиом групл I и II. Тем не менее это отнюдь не доказывает их зависимости от других аксиом в системе Гильберта.
