Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
К главе I.
143
В самом деле, всем аксиомам Гильберта I—V і можно удовлетворить, если принять, что в пространстве существуют только точки с такими координатами, которые выражаются числами некоторой области, получающимися из 1 путем операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня из чисел той же области. В этой геометрии нет точек, координаты которых являются корнями неприводимого уравнения 3-й степени (даже если они вещественны). Тем же аксиомам можно удовлетворить, если принять, что в пространстве существуют только точки, координаты которых могут быть выражены в радикалах. В этой геометрии нет, например, точек, координаты которых являются корнями неприводимого уравнения 5 степени. Можно также удовлетворить тем же аксиомам в геометрии, в которой имеются только точки с координатами, принадлежащими к области алгебраических чисел. В ней нет точек с транцендентными координатами. Наконец можно удовлетворить этим аксиомам н в нашей обычной декартовой геометрии, где координатами точек могут быть любые вещественные числа (ср. § 9).
Таким образом аксиомы I—V г, не определяют однозначно некоторую систему геометрии: возможны разные геометрии, в которых имеют место эти аксиомы, при чем в одной из них могут еще иметь место предложения, которые не имеют места в другой. Такую систему аксиоц можно назвать „неполной" „не категорической" (поп categorical— термин принадлежит Veblen'y; см. „А Syst. of Axioms for Geometry",—Trans, of Amer. Math. Soc. V. 5). Для того, чтобы сделать свою систему аксиом ,полной", „категорической"—Гильберт должен был дать некоторую аксиому, которая не оправдывалась бы ни в одной из указанных выше геометрий, кроме последней—декартовой. Это можно было сделать, введя аксиому непрерывности Дедекинда нли Кантора, или какую-либо аналогичную им. Но Гильберт избралудругой путь: он присовокупил к аксиомам I—V т аксиому полноты. Очевидно, он достиг цели, так как все геометрии, о которых шла речь выше, действительно устранены: все они допускают расширение за счет отсутствующих в них точек с координатами из вещественной области. И только в последней декартовой геометрии аксиома полноты удовлетворена. '
Как формально провести вывод аксиомы Дедекинда из аксиом I—V 2 будет показано ниже (см. примеч. 1 к Главе III).
Следует заметить, что хотя геометрия, основанная на аксиомах I—V і, не тождественна с геометрией Декарта, тем не менее она может быть отождествление с нею без всяких новых постулатов, путем введения посредством определения точек с иррациональными координатами. См., например, Schur,— Grundlagen der Geometrie, § 8, S. 183.
Таким образом геометрия, основанная на постулатах I—V і, есть часть декартовой геометрии, подобно тому, как геометрия, в которой имеют место плоскостные аксиомы I, II и IV и теорема Дезарга, есть часть пространственной геометрии (см. главу III).
144
Примечания.
14) Эти слова Гильберта, как указывает В. Каган, могут показаться парадоксальными. Обычно всякая новая аксиома вносит новое ограничение в систему вещей—точек, прямых, плоскостей, а потому исключение какой-либо аксиомы не может создать противоречия. Но в данном случае суть дела заключается в своеобразном характере аксиомы полноты: устранение какого-либо ограничения может повести к тому, что система точек, прямых и плоскостей будет допускать расширение, и таким образом аксиома полноты не сможет быть удовлетворена. В самом деле, коль скоро аксиома Архимеда не имеет места, система точек допускает расширение за счет точек с транс-финнтными координатами, а так как в трансфинитной арифметике аксиома полноты, вообще говоря, не имеет места, то замечание Гильберта делается совершенно понятным.
Но не значит ли это. что приняв аксиомы I—IV и V 2, мы тем самым, во избежание противоречия, должны принять аксиому Архимеда? Не является ли. иными словами, аксиома Архимеда следствием аксиом I—IV и V2?
Если бы принятие аксиомы Архимеда в системе аксиом 1—IV и V 2 было единственным исходом из противоречия, о котором говорит Гильберт, то это было бы так. Однако, не исключена возможность существования такой не-архимедовой геометрии, в которой аксиома полноты, тем %ie менее, имеет место.
Чтобы вполне уяснить этот вопрос заметим, что аксиома I 7 играет в отношении аксиомы полноты весьма сходную с аксиомою Архимеда роль. Аксиома 1 7 равносильна утверждению, что вне трехмерного пространства нет точек. Если исключить эту аксиому, то пространство может быть расширено за счет точек, прямых и плоскостей четырехмерных, пятимерных и т. д. пространств. Таким образом система аксиом І і 6,8, II, III, IV, V 1 — 2 приводит к противоречию. Между тем нельзя сказать, что аксиома I 7 является следствием прочих аксиом Гильберта, так как всем прочим аксиомам, включая и аксиому полноты, можно удовлетворить в четырехмерном пространстве, где аксиома I 7 не имеет места.
К главе II.
1I Подробное изложение см. В ель штейн,—Основания геометрии. S 4*2-Одесса, 1913.
'-) Предыдущим доказано отсутствие противоречий в системе плоско' с т н ы X аксиом. Чтобы доказать отсутствие противоречий в системе всех аксиом, необходимо построить геометрию в численном многообразии трех измерений по образцу построенной выше в многообразии двух измерений.
