Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
• прямой А'С отложены два угла--A''CB' и ^ А'С В" таких, что
ACB конгруэнтен каждому из них, что противоречит III* 4.
2"'. Пусть — вопреки опущенной части аксиомы III 1, которую мы хотим доказать, — AB AB', при чем В'— точка на луче AD, не совпадающая с Б. По III* і
BA AB.
Так как AB AB', то по III* 2, ' \
BA AB',
что по только что доказанному противоречит, конгруэнции БА Z^A В, если В не совпадает с В'. Отсюда заключаем, что АБ _ AB.
3". Опущенной частью аксиомы III 4 не придется пользоваться при доказательстве теорем о конгруэнтности- тр-ков. Поэтому мы докажем ее после теоремы 10. (См. примеч. 9).
) Аксиомы III с указанными сокращениями мы будем обозначать так: III*.
К главе I.
141
... и если углы -?. (A, I) и *2f. {k, I) одновременно С у г л а м и -=? (V, I') и (A-/ Г) имеют или не имеют общих внутренних точек.
Это поправка указана Розенталем (Math. Ann. Bd. 71).
9) Обычное доказательство этой теоремы, как известно, заключается-в следующем:
В плоскости тр-ка А'Б'С строим треугольник A'B''С х
такой, чтобы А'В'4= ^CAB и ^ A'QB" —-3-ACB, и чтобы точка В" лежала относительно А'С" по другую сторону, нежели Вг.
Черт. 58
Согласно теореме 12 &АВС _ /\А'В"С.
Затем, с помощью теоремы о равенстве углов при основании в равнобедренном тр-ке, доказывается, что тр-к А'В'С конгруэнтен тр-ку А'В"С, откуда и делается вывод, что ДДВГ -ДІ'В'С. Последнее заключение очевидно предполагает, что конгруэнтность треугольников есть отношение переходное (транзитивное), что может быть доказано только с помощью теоремы" 10, которая утверждает, что конгруэнтность углов есть переходное отношение. Но теорема 10 еще не доказана. Укажем поэтому, как^ согласно X Розенталю, следует изменить обычное доказательство теоремы 17, чтобы избежать ссылки на теорему 10.
Допустим, что CAB не конгруэнтен С А'В'. Построим на А'С" от вершины А' с тоЧ стороны, с которой лежит точка В', угол С А'X так, чтобы ^ CAB ~ ^.XfA'X, и на луче А'Х выберем щику B1 так, чтобы AB1 А'В,. Соединяя B1 с С" получим, по теор. 11, что B1C ВС и значит B1C-O1C и точно также A'B1 А'В*. Совершенно обычным путем отсюда заключаем, как и раньше, что тр-к А'В'С конгруэнтен тр-ку А'В, С и, следовательно,
S С'А'В * С A'B1, что, в силу аксиомы IH 4, противоречит конгруэнции
С'А'В" ¦ С'А'В, которую мы имели раньше. Следовательно,
-=? CAB CS1B'. что и доказывает теорему 17.
¦После этого без всякого труда может быть доказана теорема 10. Пусть (h, к) ¦= ^ (Zj', к') и (h, к) = -4 (/(", к"). Вершины этих углов обозначим соответственно через А, А' и А". На лучах Л, А' и А' выберем соответственно точки В, В' и В' так, чтобы AB _ А'В' и AB
А"В", и на лучах к, к' и V - сответственно точки С, С и С" так, чтобы AC +L'С и AC А"С".
142
Примечания.
Тогда тр-к ЛВС - тр-ку А'В'С и тр-к АБС тр-ку А"В"С", ¦откуда
ВС В'С н ВС В"С
В силу аксиомы III 2, отсюда находим
ВТ — Б"С",
и, в силу той же аксиомы,
А'С'^А'С и Л'Б' =jl"B". '
Отсюда, в силу только что доказанной теоремы
тр-к А'В'С гр-ку А'В'С",
и, значит,
-ЗЧА', **)-_ -3(A', *7, что и доказывает теорему 10.
Теперь очень легко доказать опущенную но указанию Розенталя и недоказанную еще часть аксиомы HI 4, а именно, что -=? (А, к) ~ - (Л, fc) Доказательство совершенно аналогично такому же доказательству для отрезков. {См. примечание 7).
10) В подлиннике ошибочно сказано ,по теоремам 10 и 13".
п) Если все точки ABC...., а, следовательно, и А'В'С'...., лежат на одной прямой, то возможно двояким образом найти точку P', о которой идет речь в условии теоремы, а именно — по одну и по другую сторону от прямой А'В'С. Эти точки симметричны относительно прямой А'В'С". В системе Гильберта симметричные фигуры считаются конгруэнтными, т. е. аксиомы Гильберта не дают возможности отличить симметрию от конгруэнтности. Некоторые видят в этом неполноту системы (см. Каган,—Осн. геом., т. II). Действительно по Гильберту правый сапог конгруэнтен левому. Впрочем добавочным соглашением без новых аксиом можно выделить симметрию, как частный случай конгруэнтности, и подразделить конгруэнтность на прямую и обратную. См., например, Halstad—Ration, geora., глава IV.
12) Мюнц показал, что, чтобы пространство, в котором имеют место аксиомы Гильберта I—II, было евклидовым, необходимо и достаточно постулировать: к каждой из трех данных прямых одной связки, не лежащих в одной плоскости, через некоторую — хотя бы одну единственную—то ч к у п р о с т р ан ст в а можно провести только одну параллельную прямую.
См. Math. Annalen, Bd. 73.
Отсюда следует, что аксиому IV можно заменить менее требовательной аксиомой.
13) В первом издании „Оснований геометрии* группа аксиом непрерывности была представлена только одной аксиомой Архимеда (V і). Некоторые рецензенты (в том числе А. Пуанкаре) указали, что геометрия Гильберта не тождественна с обычной геометрией: ей недоставало непрерывности.
