Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Докажем сперва три леммы.
Лемма 1-Е ели на некоторой прямой «точка В лежит ч е ж д у Л и С, а С—м ежду .1 и D, то точка С лежит также между В и T).
Доказательство. Проведем через С произвольную прямую с, огличную от а, и возьмем иа ней точку Е, отличную от С. Затем на прямой BE возьмем точку F между BkE (черт. 55). Точка Ег таким образом, не лежит между BnF, и значит прямая с не имеет общей точки — с отрезком BF.
?* С другой стороны точка С не лежит между Л а В по условию. Следовательно Черт. 55. (N 4). прямая с не имеет общей точки
с отрезком AF.
Но точка С по условию лежит между А и D. Поэтому (по Il 4) прямая с пересекает отрезок FD. Рассматривая три точки В, F, D, видим, что прямая с пересекает отрезок FD, но не пересекает отрезка BF. Следовательно (согласно II 4), она пересекает отрезок BD, т. е. точка С принадлежит отрезку Bi), что и тр. док.
Лемма II—E ели В лежи т между А и С, и С — между а и D3 то В лежит также и между Akd.
Доказательство подобно предыдущему (см. черт. 56). , Черт
К ГЛАВЕ I.
139
Лемма III—Если А лежит между Б и D1 и Г— между Б и D, то D не лежит между .I и С.
Ведя доказательство от противного найдем, что если /
Л лежит между .4 и С, то С лежит между BhJ (черт. 57) /
и, след, D — между А и В (лемма II), что противоречит у\ условию. / \р
Теперь можно доказать теорему 4 Гильберта. /
Рассмотрим какие-либо три из четырех точек, Ir Vv
лежащих на одной прямой. Назовем ту из них, Q \\
которая лежит между двумя другими, через С, В к рд
а остальные две соответственно через BuD. /с
Четвертую точку назовем .4. Сопоставим точки Черт. 57.
В, D и А. Возможны следующие три случая:
1.° Б лежит между А и D. 2.° В лежит между А и Б. Простой перестановкой букв легко свести оба случая к условию лемм I и II.
3.° А лежит между Б и D. В этом случае С может оказаться между D и А, тогда условие лемм I и II соблюдено,—либо А между С и г),— условие лемм I и II снова соблюдено. Но ие может случиться, чтобы D оказалось между А и С (лемма III).
Итак, во всех случаях условие лемм I и II соблюдено. Отсюда немедленно вытекает справедливость теоремы 4.
3) Вопрос о разложении плоскости прямыми очень обстоятельно разобран в труде проф. Кагана „Основания геометрии* т. I, где ему уделено около 80 страниц (главы XXXII — XXXVIII). Читатель найдет там доказательство теоремы 7, а равным образом и других теорем, часть которых понадобится для обоснования учения о площадях.
См. также весьма краткое изложение у Н. T h і е m е—Die Elemente der Geometrie. Leipzig, 1909 (§§ 2 и 4).
*) См., например, В. Каган. — Основания геометрии. Т. I, стр. 515.
:') Конгруэнтность, как отношение между углами, является у Гильберта таким же первоначальным понятием, как в отношении между отрезками. Можно, однако, построить евклидову геометрию вовсе ие прибегая к аксиомам конгруэнтности, для углов.", В этом случае необходимо заменить их аксиомами конгруэнтности для фн*ур вообще (Паш, Веронезе) или хотя бы только для треугольников (Моллеруп). ,
За основное понятие можно при этом принять конгруэнтность либо как отношение между двумя фигурами (Паш), либо как отношение между отрезками (Вероиезе, Моллеруп). См., кроме упомянутых ранее работ Паша и Веронезе, статью А. Гвардуччи, — Конгруэнтность и дви-ж е н и е—в сборнике Энриквеса—Вопросы элементарной геометрии, а также J. MoIIerup, — Studier oven den plane geomctris aksiomer. Kopenhagen, 1903, и стать*ю того же автора в Math. Annal. Bd. 58.
6) Эту теорему (10), собственно говоря, следовало бы поместить после •теоремы 17, так как все теоремы 11 — 15 и 17 доказываются no Rosental'io
140
Примечания.
независимо от нее. Теорема 16 должна быть перенесена дальше, так как -ее доказательство опирается на теор. 10. Сама же теор. 10 доказывается (по Розенталю) на основании теоремы 17. (См. примеч. 9).
7) Упрощение аксиом конгруэнтности, предложенное, A. Rosental'eM, заключается в следующем:
1". В аксиоме III і нет нужды постулировать, что точка Б' может быть только одна — достаточно постулировать, что существует по меньшей мере одна точка В'; иначе говоря нет нужды постулировать однозначность построения отрезка, конгруэнтного данному.
23. В той же аксиоме нет нужды постулировать ЛЬ' А Б (однако постулируется по прежнему AB BA).
3°. Точно также в аксиоме III 4 опускается требование ¦.; . ,к) = ~ ^ (ji, к) (однако сохраняется требование ^ (/(, к)^^.(к, к); равным образом сохраняется требование однозначности построения угла конгруэнтною данному).
Чтобы оправдать такое сокращение содержания аксиом необходимо доказать, что опущенные части их могут быть выведены из аксиом I и II и сокращенных аксиом III '). Мы приводим здесь в сжатом виде доказа-, тельство, данное А. Розенталем: х
1°. Пусть AB^l А'В' и AB= А'В", при чем В' и B^ р'азные точки прямой а', лежащие в одном и том же направлении от точки -4'. Произвольную точку С (вне прямой а) соединим с Л и В. Затем построим угол В'А'Х, конгруэнтный углу ВАС, и на А'Х найдем точку С такую, чтобы AC = A1C Соединим С с В' а В". По III 5 из тр-ков АБС и А'Б'С имеем, что ACB-J^. A'CB'; точно также из тр-ков АБС и А'Б'С' имеем *$.АСВ = <$.А'СВ". Но лучи CB' и CR' лежат по одну сторону ¦от А'С. Таким образом в плоскости А'Б'С по одну и ту же сторону от
