Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
В четырехстороннике, составленном ассимптотическими линиями, противоположные стороны равны.
Поверхность многоугольника, составленного ассимптотическими линиями, пропорциональна сферическому избытку; то же самое имеет место и по отношению к многоугольнику, составленному геодезическими линиями; только в первом случае сферический избыток положителен, во втором он отрицателен.
Автор показывает затем, что на поверхности Бельтрами без особенной точки нельзя начертить замкнутую ассимптотическую линию, что ассимптотическая линия не может ни пересекаться сама с собою, ни пересекать другую ассимптотическую линию более, чем в одной точке. Всякая другая гипотеза привела бы к многоугольникам, которых сферический избыток равен нулю. Отсюда вытекает то следствие, что если подобная поверхность соответствует точкой за точку не евклидовой плоскости, то соответствие должно быть одно-однозначно.
136 А. Пуанкаре.
\
Но тогда, определяя величину площади всей поверхности, исходя один раз из площади многоугольника", образованного ассимтодическими линиями, другой раз из площади геодезического многоугольника, находим, что в первом случае эта площадь конечна, во втором случае—бесконечна. Этс-то противоречие и доказывает теорему.
Что касается до поверхностей с постоянною положительною кривизною, к которым применима геометрия Риманна, то Гильберт доказывает, что кроме сферы нет других замкнутых поверхностей такого рода. В самом деле, если мы будем рассматривать часть поверхности с постоянною положительною кривизною, то максимум большого радиуса кривизны не может быть достигнут внутри этой части, но только на контуре. Мы имеем в этом предложение, совершенно аналогичное известной теореме, касающейся потенциала.
Отсюда непосредственно следует, что если поверхность е'сть поверхность замкнутая, то максимум не может быть нигде достигнут и что, следовательно, радиус кривизны имеет постоянную величині'. Таким образом мы без труда приходим к сфере.
После сделанного-^анализа нет необходимости в каком-либо комментарии. Мы видим, как разнообразны точки зрения, исходя из которых ведет свои исследования Гильберт, какова глубина его анализа. Его работы знаменуют эпоху, и он кажется вполне достойным премии 'имени Лобачевского.
Г. Пуанкаре.
ПРИМЕЧАНИЯ.
К главе I.
') Первой группой аксиом Гильберт устанавливает правила применения терминов: ,точка", „прямая", „плоскость" и „определяют" (как отношение между точками и прямой и между 'точками и плоскостью). Эти термины, вместе с двумя новыми—„между" и „конгруэнтный" (как отношение между двумя отрезками или углами), которые вводятся соответственно II и III группами аксиом, — составляют систему основных понятий геометрии в изложении Гильберта.
Кроме этих основных понятий, Гильберт употребляет несколько производных: „проходит через", „лежит на', в дальнейшем — „отрезок*, „треугольник", „ломанная" и др. Производные понятия представляют собой условные сокращенные обозначения для более или менее сложных комбинаций основных понятий. Правила применения их, вообще говоря, называются определенными. Гильберт дает эги определения в пояснениях.
Количество основных понятий геометрии может быть уменьшено. У Паша 1) основными являются понятия „точка", „отрезок прямой",, „плоская поверхность" (ограниченная часть плоскости) и „конгруэнтный". У Шура -) — „точка", „отрезок", „д в и-*ж е н и е". У Пиери3) — „точка" и „движение". У Веблена4) -„точка" и „порядок".
Если положить в 'основу геометрии понятия „точка" и „лежит между", то „отрезок" AB определяется как совокупность точек, лежащих между двумя точками Л и Да „прямая" как совокупность точек отрезка A F> и таких точек ]t, что В лежит между А н X, либо А — между В и X. „Плоскость" OAB при этом может быть определена как совокупность точек, принадлежащих прямым, соединяющим точку О с точками прямой А В (если О ие принадлежит .4В).
) М. P а s с h. —Vorlesungen uber neuere Geometrie. 1-е Auf. Leipzig, 1882
2-е Auf. Leipzig, 1912. 2) S. S с h nr.—Grundlagen der Geomettie. Leipzig, 1909. ;) M. Pier i.—Deila Geometria elementare come sistema ipotetico-dedut-
tiva. Memorie d. R Accademia di Torino. 1899. 4) O. Veblen.—A system of axsioms for geometry. Transactions of the American Mathem. Society. V. 5, 1904.
138
Примечания.
Так как, при такой постановке дела, прямая и плоскость определяются как системы (классы) точек, то отношение между точками и прямыми Гили плоскостями), которое у Гильберта характеризуется понятием „определяют** или „лежат на", заменяется логическим понятием „принадлежности элемента классу".
Естественно, что уменьшение количества основных понятий может привести к уменьшению количества аксиом, необходимых для обоснования геометрии, т. к. при этом некоторые аксиомы, характеризующие какое-/шбо основное понятие, заменяются определением этого понятия (см. прим. 3 к главе II). —
2) Приведем доказательство теоремы 4, данное Е. Мооге'ом в упомянутой автором статье. Мы будем при этом руководствоваться изложением H а 1 s t е d' а, помещенном в прибавлении к его книге Rational geometry — New-Iork, 1907 (которая представляет собой учебник элементарной геометрии, построенный по системе Гильберта).
