Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 54

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — Петроград-книгоиздательство Сеятель, 1923. — 152 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniya-geometrii.djvu
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 64 >> Следующая


Я перехожу к важному мемуару Гильберта, озаглавленному Ueber die Grutidlagen der Geometrie, который имеет, значит, тот же заголовок, что и его Festschrift (основное сочинение), но в котором он становится на совершенно иную точку зрения. Действительно, в своей Festschrift, как мы видели в предыдущем анализе этой работы, отношения понятий пространства и группы, в том виде, в каком они получаются из работ Ли, или оставлены совершенно без внимания, или отодвинуты на второй план. Общие

%

Отчет о работах Д. Гильберта.

131

•свойства групп не фигурируют в списке основных аксиом. Совсем иное отношение к ним в мемуаре, о котором мы будем теперь говорить.

Гильберт предполагает плоскость, относительно которой он устанавливает следующие условия.

1°. Точки этой плоскости соответствуют однозначно точкам обыкновенной плоскосги или части этих точек. Таким образом каждая точка новой плоскости имеет себе соответствующую в обыкновенной плоскости; но на обыкновенной плоскости могут быть и точки, не имеющие соответствующих на новой плоскости. Таким образом новая плоскость имеет, так сказать, меньше точек, чем обыкновенная плоскость; в противоположность тому, что имело место для не-архимедовой плоскости. Точки обыкновенной плоскости, имеющие соответствующие на новой плоскости, называются Bildpunkte. Совокупность этих Billdpunkte образует на обыкновенной плоскости область, которую Гильберт предполагает непрерывною и связною так, что вокруг каждой точки этой области можно описать круг радиуса достаточно малого для того, чтобы весь круг находился в этой области и чтобы можно было перейти от одной точки области к другой по непрерывной кривой, не выходя из области.

2°. Точки этой новой плоскости могут подвергаться преобразованиям, которые называются движением и которые составляют группу.

3 Между этими движениями существует бесконечное множество движений, оставляющих неподвижною некоторую точку М\ эти движения называются вращением около М. Ансамбль всех точек, которые получаются из одной точки А всеми этими вращениями, называется окружностью. Всякая окружность имеет бесконечное множество точек.

4'. Группа движений образует замкнутую систему; вот, что это значит: если мы имеем бесконечное множество движений, изменяющих точки A0 и B0, первое — в A1 и B1, второе—в A2 и B2, п"—в An и Bn, если точка An стремится к А, а точка Bn к В, когда и возрастает неопределенно, то в группе будет и такое движение, которое точно изменит A0 и B0 в А и В; то же самое имеет место и в том случае, если вместо двух точек мы будем рассматривать их или три или только одну.

9*

132

А. Пуанкаре.

Я сократил несколько положения Гильберта немного, правіа, в ущерб точности, но не жертвуя ничем существенным. Мне придется в дальнейшем сделать по их поводу несколько замечаний.

В сущности дело в том, чтобы найти все группы преобразований плоскости или части плоскости самое в себя, при чем эти группы подчинены только условиям, повидимому, очень мало ограничительным. Как можно при этом притри к столь точным выводам? Это находится в зависимости от того определения, которое Гильберт дает для движения. Преобразование должно удовлетворять многим условиям для того, чтобы быть движением; во-первых оно должно быть непрерывным и преобразовать две бесконечно-близкие точки в две другие также бесконечно-близкие точки; далее, оно должно быть одно-однозначно, т. е. каждая точка плоскости должна иметь одну преобразованную точку и только одну, — и быть преобразованной одной и только одной точки.

Этими ограничениями исключаются очень многие группы; например, группа проективных преобразований и группа гомотетий, т. е. преобразований, изменяющих всякую плоскую фигуру в фигуру гомотетичную. Почему? Возьмем, напр., группу гомотетий и увидим, что она содержит и вырождающиеся преобразования, т. е. такие, для которых, при произвольном центре гомотетии, отношение гомотетии равно нулю или бесконечности. В этих преобразованиях центр гомотетии имеет бесконечное множество преобразованных или есть преобразованная для бесконечного числа точек. Эти вырождающиеся преобразования нельзя исключить, петому что иначе группа не была бы системою замкнутою, но нельзя их и сохранить, потому что они не соответствуют определению движения.

Подобным же образом видно, что окружность не может заключать все точки плоскости; иначе между вращениями вокруг центра этой окружности, было бы и такое, которое привело бы к центру точку плоскости, отличную от центра, так что центр был бы точкой, преобразованной из двух точек — из этой точки и из себя самого. Это подразумевает существование инварианта аналогичного расстоянию. Мы видим, таким образом, что условия в действительности гораздо более ограничительны, чем это кажется с первого раза.

По отношению к идеям Ли, прогресс, достигнутый Гильбертом, значителен. Ли предполагал, что его группы определяются анали-

Отчет о работах Д. Гильберта.

133

тическимн уравнениями. Гипотезы Гильберта значительно более общи. Без сомнения, и они еще не вполне удовлетворяют, потому ¦что, если форма группы стала произвольною, то материал, т. е. плоскость, подвергающаяся преобразованиям, попрежнему принуждена оставаться неким Zahlrnmannigfaltigkeit в смысле Ли. Но тем не менее сделан уже шаг вперед, и притом Гильберт анализирует лучше, чем это делалось до него, понятие о Zahlenmannigfaltigkeit и дает такие перспективы, которые могут сделаться зародышем аксиоматической теории Analysis situs (анализа положения).
Предыдущая << 1 .. 48 49 50 51 52 53 < 54 > 55 56 57 58 59 60 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed