Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогичный вопрос рассматривается в другом мемуаре Гильберта: Ueber die Gleichheit des Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck.
В обыкновенной плоской геометрии плоскость симметрична, что и выражается равенством углов при основании равнобедренного треугольника.
Эта симметричность плоскости, должна фигурировать в списке метрических аксиом. Во всех более или менее странных геометриях, о которых мы до сих пор говорили, по крайней мере в тех, в которых допускаются метрические аксиомы, в не-архимедовой метрической геометрии, в новых геометриях Dehn'a, в тех геометриях, о которых идет речь в мемуаре Ueber eine neue Begrundung.... эта симметричность плоскости постоянно предполагается. Есть ли она следствие других метрических аксиом? Да, как показывает Гильберт, если допустить аксиому Архимеда. Нет, в противоположном случае. Существуют не-архимедовы геометрии, в которых все метрические аксиомы верны, за исключением аксиомы о симметричности плоскости. Вот пример этого.
Числа не-архимедовы, определенные выше, могут быть пли бесконечно-большими, или конечными, или бесконечно-малыми; но угол будет всегда конечным или бесконечно-малым, вследствие соотношения
Cos? v 4-ISiTPv=I.
»
Отчет о работах Д. Гильберта.
129
Следовательно, угол может быть всегда представлен под формою ft где в есть обыкновенное вещественное число, а г не-архи-медово бесконечно-малое число. Дадим теперь для прямоугольных координат точки, для прямых и параллельных перенесений обычные определения, вращение же определим следующим образом: пусть а, ? суть координаты центра вращения; ft -|- г—угол вращения; х, у— координаты произвольной точки до вращения; х, у'—координаты ее после вращения; мы будем иметь
(У- u) + i(y-?) = eie+r+i\
Рассмотрим группу, составленную из вращений вокруг начала координат, эта группа не будет способна к перестановке ни с преобразованием, изменяющим у в — у, ни с каким-либо другим преобразованием, сохраняющим начало, изменяющим прямые в прямые и квадрат которых приводится к тождественному преобразованию. Плоскость, значит, не симметрична.
Все прочие метрические аксиомы, однако, сохраняются, равно как и постулат .Евклида, и даже имеется новая аксиома, которую Гильберт называет Axiom der Nachbarschaft (аксиомою соседства) и которую он формулирует следующим образом:
„Если дан произвольный отрезок S, то можно найти треугольник, внутри которого нельзя поместить никакого отрезка, конгруэнтного с S".
Это легко вытекает из уравнения круга. Уравнение круга радиуса о, имеющего центр в точке ti, ?, есть действительно
(X - a) * + (у - ?)2 = о^21; * - J = ty (Є 4- v).
Но за то: не верно, что углы при основании равнобедренного треугольника равны; не верно, что в треугольнике одна сторона меньше суммы двух других; наконец, не верна теорема Пифагора о квадрате гипотенузы. По этой-то причине эта геометрия называется . не-пифагоровой.
Я перехожу теперь к мемуару, озаглавленному Heber die gerade Linie als kurzeste Verbindung zweier Punkte, который я не могу отделить от диссертации на тот же предмет, написанной НатеГем под влиянием Гильберта. Здесь мы не так выбиты из обычной
Гильберт. OcHOBaHViH геометрии. 9
130
А. Пуанкаре.
колеи; не только нет необходимости отказаться от аксиомы Архимеда, но мы не встречаем никаких иных функций, кроме аналитических, которые могут быть и дифференцируемы и интегрируемы.
Предположим, что прямые определены обычным способом и что допускаются проективные аксиомы, аксиомы порядка и теоремы Дезарга и Паскаля. Дадим теперь определение длины дуги какой-либо кривой; не необходимо выбрать это определение так, чтобы можно было удовлетворить метрическим аксиомам, то есть так, чтобы сделать возможным движение неизменной фигуры.
Возможно ли это сделать так, чтобы прямая линия оставалась кратчайшим путем от одной точки до другой ? Определение прямой не изменяется, но определение круга остается произвольным в очень широких границах; необходимо только, чтобы все круги, имеющие центр на одной прямой линии и проходящие через некоторую точку этой прямой, имели в этой точке одну и ту же касательную. Эта задача допускает бесконечное множество решений. Минковский, преследуя арифметическую цель, ррзвил такое решение, в котором все круги суть кривые, подобные друг другу в обычном смысле этого слова. Гильберт уже в 1894 г. дал другое решение, которое можно характеризовать следующим образом: рассмотрим замкнутую связную кривую, которая будет служить основною кривою. Пусть J) есть некоторая прямая, M — точка этой прямой; все круги, центр которых лежит на D и которые проходят через точку М, имеют одну и ту же касательную T и эта касательная, когда точка 21/ описывает прямую 1), поворачивается около неподвижной точки, а именно точки пересечения двух линий, касательных к Св тех точках, в которых эта кривая пересекается прямой 1). Наконец, Гамель в своей диссертации дал общее решение вопроса, но его решение слишком сложно, чтобы могло быть изложено в 'немногих словах.
