Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Является тогда вопрос: то, что мы только что сказали об евклидовой геометрии, верно ли и по отношению к геометрии Лобачевского? Другими словами, если мы сохраним только аксиомы первых трех групп (проективные, порядка и метрические) и заменим постулат Евклида постулатом Лобачевского, то получим ли мы 'основные теоремы Лобачевского, не пользуясь аксиомою Архимеда? Вот вопрос, который Гильберт решил в своей статье Ucber cine neue Begrundung der Bnlyai - Lobatechefskyvchen Geometrie. Он
126
А. Пуанкаре.
отвечает на этот вопрос утвердительно и, в частности, показывает, что всегда существует общий перпендикуляр для двух прямых плоскости, которые не пересекаются между собою, h вместе с тем не параллельны. Я обращу внимание на формулировку постулат Лобачевского: „Если Ь есть произвольная прямая плоскости и -А — точка, не лежащая на этой прямой, тс^ через точку А всегда проходят две полу-прямые ах и а2, не составляющие одна продолжение другой и не пересекающие прямую Ь, между тем, как всякая полупрямая, проходящая через А и расположенная в угле, образованном двумя полу-прямыми ах и ег2, встречает
Вот эти-то две полу-прямые а, и а2 и получили название параллельных. Они не встречают прямую Ь, но они служат пределом, как тому углу, в котором находятся все прямые, встречающие Ь, так и тому углу, в котором находятся все прямые, не встречающие .
Я укажу также на изящную теорию некоторых преобразований, относящихся к тому, что можно было бы назвать точками на бес конечности в плоскости Лобачевского, и законы которых те же, что и законы сложения и умножения вещественных чисел. Отсюда может быть получено чрезвычайно простое и очень плодотворное изложение неевкидовой геометрии.
Наши знания о теории параллельных ведут свое начало от теорем Лежандра, которые установили необходимую связь между суммою углов треугольника и выбором между тремя геометриями — Евклида, Лобачевского и Риманка. Какую роль играет аксиома Архимеда в этих теоремах?
Этот вопрос занимал Гильберта, и, под его влиянием, DeIm сделал этот вопрос предметом своей диссертации, которую я не могу обойти здесь молчанием. Результаты, полученные Юеїт'ом, показывают, что без аксиомы Архимеда теоремы Лежандра уже но могут быть верными. Остается верным еще, что, если один треугольник имеет сумму углов, равную (или большую или меньшую) двум прямым, то то же самое имеет место и для всех других. Остается верным также, что если эта сумма меньше двух прямых, то к прямой можно провести несколько параллельных через одну точку. Верно, что если эта сумма больше двух прямых, то постулат Евклида ложен, и что если она равна двум прямым,
Отчет о работах Д. Гильберта.
127
то невозможно, чтобы две прямые всегда встречались, но прочие теоремы Лежандра уже не верны.
Существует плоская геометрия, в которой сумма углов более двух прямых, и в которой тем не менее можно провести к нря мой через одну точку бесконечное множество параллельных (я называю так прямые, ее не встречающие); эта геометрия лсоюан-дровп.
Существует геометрия, в которой сумма углов равна двум прямым и в которой можно через одну точку провести к прямой бесконечное число параллелей; это геометрия полу-евклидова.
Мне достаточно объяснить, что такое эта последняя, так как первая вполне ей аналогична. Для этого нужно сослаться на сказанное выше относительно не-архимедовой геометрии. Я объяснил как не-архимедова плоскость выводится из обыкновенной плоскости присоединением новых точек; как, для того, чтобы вывести не-архи-медову прямую D1 из обыкновенной прямой />0, нужно присоединить—1°) с одной стороны, бесконечность новых точек между двумя произвольными полу-прямыми Я' и /S"', которые вместе составляют D11, 2°) с другой стороны, бесконечность новых точек справа от всех обыкновенных точек D0 и бесконечность новых точек слева от всех обыкновенных точек прямой
Теперь, сохраним новые точки первого сорта, т. е. те, которые находятся на конечном расстоянии, и исключим новые точки второго сорта, т. е. находящиеся на бесконечном расстоянии. Тогда пусть D будет некоторая прямая и А некоторая точка; тогда будет бесконечное множество прямых, проходящих через А, которые не встречаются с T): это те, которые встретили бы ее в одной из новых точек второго сорта, если бы эти точки не были исключены; однако, все теоремы Евклида продолжают иметь место и всякое вращение или параллельное перенесение преобразует в самое\ себя не-архимедову плоскость, изуродованную таким образом.
Может показаться, что в этом имеется противоречие с только что упомянутым мемуаром: Uelicr eine neue fieyrunduny... Если, как показал Гильберт, геометрия Лобачевского может быть выведена из его постулата без помощи аксиомы Архимеда,—как может быть построена полу-евклидова геометрия, т. е. геометрия, в которой теоремы Евклида уживаются рядом с постулатом Лобачевского?
128
А. Пуанкаре.
Эта трудность происходит, невидимому, от того, что формулировка постулата не совпадает в обоих случаях. Dehn предполагает, что через точку можно провести бесконечное число прямых, не встречающих данную прямую, и бесконечное число прямых, ее встречающих. Первые составляют ансамбль Ex, вторые—ансамбль E.,. Гильберт предполагает сверх того, что существует предельная прямая, принадлежащая ансамблю E1, и притом такая, что всякая прямая, заключающаяся между этою предельною прямою и прямою из E2, принадлежит равным образом к ансамблю E1. Именно \гу предельную прямую Гильберт и рассматривает, собственно говоря, как параллельную. В геометрии Dehn'a такой параллельной не существует. Здесь кроется, вероятно, интересный для ближайшего исследования вопрос. Можно ли создать не-архимедову геометрию, в которой параллельная, понимаемая в указанном смысле, существует и для которой имеют место выводы Гильберта?
