Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
(а(0), сР) = Ф1(—f, <))=¦* <р(0).
Найдем явное выражение функции а№ через производные функции Ь(х). Рассмотрим сперва случай к = 0. Согласно формуле (41)
(aW, ср) О).
Но Ф^—|-, 0^ есть свободный член лорановского разложения функции Ф (л, 0) в окрестности точки X =--
Имеем:
1 Г ^
Г(Х+1)г(-|) - ' 1 2pQ2?(0).
2] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 327
т. е.
l±i<S— 1 (-1)
г(т)
где пси-функция ф(лг) определяется по формуле
Подставляя полученные выражения для функции «(°) в формулу (40), для k — 0 получим:
^ = -7^7 К—1)* 8i ЧЯ)Ч-ви*8(х)]. (43) причем 6 = (—I)2, если /? и <у —четные числа, и
94-1
6 = (—1) 3 -^-(т1^)— ^(ir))' еслн Р и ^ — нечетные числа.
*) Значения пси-функции ф (дг) при целых и полуцелых значениях аргумента выражаются следующими формулами:
<И*) = - С4-1 + 1+... +^4rf.
ф(.+4) = -С-21п2 + 2(1+1-+...+ 2^т).
где С—постоянная Эйлера (см. И. М. Рыжик и И. С. Град-штейн, Таблицы, раздел 6.35).
где х есть свободный член лорановского разложения функ-
з!птг(х4--|) г(-Х-|-) «
ции -г—^-- —;—^-— к 2 в окрестности точки X ==
sin*X Г^Г(_Х)
=— ~. Элементарные вычисления, которые мы опустим, приводят к следующему выражению для коэффициента х:
Г(*М*)
328 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
однородная функция степени — п — 2k, то это же справедливо и для функции a(fc). Но функция а<&) сосредоточена в начале координат, а потому она имеет вид *)
где Qzjc — однородный многочлен степени 2k.
С другой стороны, функция af-k\ так же как и функция Р+ при любом значении X, инвариантна относительно линейных преобразований, сохраняющих квадратичную форму:
Р (Хи . . . , Xp+q) = Xi -}- • • . -f- Хр-Xp+i- ... -Xp+q.
Следовательно, и оператор Qzk(jfc~ > •••> -^ должен быть инвариантен относительно таких преобразований. Единственным оператором, удовлетворяющим этим требованиям, является оператор
QM = ck,p,qP*(?-, .... -g^).
Таким образом,
р. • • • ¦ ¦ ^)ь (х)-
*) Во втором выпуске (гл. II, § 4) будет доказано, что обобщенная функция, сосредоточенная в одной точке, представляет собой линейную комбинацию 5-функции и ее производных.
Наконец, чтобы найти cW для произвольного k, можно снова воспользоваться «понижающей» формулой (28). Мы получим:
«» = [(_ „5—1 (р, +
и
При этом числовой коэффициент 6р>в равен (—I)2, когда р и q — четные числа.
Выражение для функции a<fe> можно получить также из
следующих соображений. Так как с_\= выч. Р+ есть
2] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 329
\ о
Ф(Х, «) = 1т I (i-ox+fc/a лед
т. е.
Г(Х+А+1)ГШ
Ф (X, в) = —--%Qg»K
4Г^Х + А + |-+1)
Функция Ф^—— /г, в^, через которую выражается
(aW, ср), есть свободный член лорановского разложения
функции Ф (X, в) в окрестности точки X = — ^ — к.
Рассмотрим для определенности случай, когда р и q — нечетные числа. Так как коэффициенты лорановского
Г(Х + Л + 1)гШ разложения функции —--^- в окрестности
Х = — ~ — k совпадают с коэффициентами лоранов-
Г(Х+1)Г(|)
ского разложения функции ——.—:-— в окрестности
r(x + !+i)
¦-9. то
Коэффициент ск> Рг q может быть найден из выражения (41), если в это выражение подставить какую-нибудь фиксированную функцию.
Возьмем функцию ср, имеющую вблизи начала координат следующий вид:
*(*) = (*•-+- ... ••• -*P+q)k-
Тогда, как показывают выражения (6) и (8), функция фх (и, to) имеет в окрестности точки и = О вид
^(в, fe) = a,Qee*(l— о*. Следовательно, согласно формуле (11),
(»<»>, ,)-,-«-') - (t(|)-t(f)). (45)
330 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
^(¦№H(*)V
где р я q — нечетные числа.
Таким образом, коэффициент QP,q в формуле (44) для случая, когда р и q—нечетные числа, имеет вид
3
Итак, если размерность пространства п — четное число, причем р и q — также четные числа, то функция Р\ имеет в точке X — — --я (fe = 0, 1, простой полюс с вычетом
выч. Р+ —
Х-
где
где коэффициент -к определяется формулой (42). Формула (41) даст нам:
Г|
С другой стороны,
(«(*>, ?)=*ъжв/>*<р(*)|в_0.
Согласно формуле (25), применяемой k раз,
P*9(x) = 2»*!(^)(jH-l)...(^H-*-l). (46) Сравнивая выражения (45) и (46), получим:
2] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 331
Г(т+*)
(-^"'(¦(fHW)
22**!г(| + а)
где ф (х) — пси-функция: ф (л:) = Г ^ ' .
Наряду с функцией Р+ можно определить также функцию РХ- согласно формуле
. (Рх_, <?)= f (—P)x9dx. (47)
-Р> о
Все сказанное выше по поводу функции Р+ остается справедливым и для функции Р\; следует лишь поменять ролями числа р и q. При этом в написанных выше формулах заменится на S<fc>(_P) = (—l)fe8(2fe)(P).
Если же р и q —- нечетные числа, то в точке X = =— ~ — k функция Р+ имеет полюс кратности 2.
Коэффициенты с^\ и С-1 разложения функции Р+ в ряд Лорана