Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гельфанд И.М. -> "Обобщенные функции" -> 90

Обобщенные функции - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции: Учебное пособие — М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): math0206.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 125 >> Следующая


(а(0), сР) = Ф1(—f, <))=¦* <р(0).

Найдем явное выражение функции а№ через производные функции Ь(х). Рассмотрим сперва случай к = 0. Согласно формуле (41)

(aW, ср) О).

Но Ф^—|-, 0^ есть свободный член лорановского разложения функции Ф (л, 0) в окрестности точки X =--

Имеем:

1 Г ^

Г(Х+1)г(-|) - ' 1 2pQ2?(0).

2] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 327

т. е.

l±i<S— 1 (-1)

г(т)

где пси-функция ф(лг) определяется по формуле

Подставляя полученные выражения для функции «(°) в формулу (40), для k — 0 получим:

^ = -7^7 К—1)* 8i ЧЯ)Ч-ви*8(х)]. (43) причем 6 = (—I)2, если /? и <у —четные числа, и

94-1

6 = (—1) 3 -^-(т1^)— ^(ir))' еслн Р и ^ — нечетные числа.

*) Значения пси-функции ф (дг) при целых и полуцелых значениях аргумента выражаются следующими формулами:

<И*) = - С4-1 + 1+... +^4rf.

ф(.+4) = -С-21п2 + 2(1+1-+...+ 2^т).

где С—постоянная Эйлера (см. И. М. Рыжик и И. С. Град-штейн, Таблицы, раздел 6.35).

где х есть свободный член лорановского разложения функ-

з!птг(х4--|) г(-Х-|-) «

ции -г—^-- —;—^-— к 2 в окрестности точки X ==

sin*X Г^Г(_Х)

=— ~. Элементарные вычисления, которые мы опустим, приводят к следующему выражению для коэффициента х:

Г(*М*)

328 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2

однородная функция степени — п — 2k, то это же справедливо и для функции a(fc). Но функция а<&) сосредоточена в начале координат, а потому она имеет вид *)

где Qzjc — однородный многочлен степени 2k.

С другой стороны, функция af-k\ так же как и функция Р+ при любом значении X, инвариантна относительно линейных преобразований, сохраняющих квадратичную форму:

Р (Хи . . . , Xp+q) = Xi -}- • • . -f- Хр-Xp+i- ... -Xp+q.

Следовательно, и оператор Qzk(jfc~ > •••> -^ должен быть инвариантен относительно таких преобразований. Единственным оператором, удовлетворяющим этим требованиям, является оператор

QM = ck,p,qP*(?-, .... -g^).

Таким образом,

р. • • • ¦ ¦ ^)ь (х)-

*) Во втором выпуске (гл. II, § 4) будет доказано, что обобщенная функция, сосредоточенная в одной точке, представляет собой линейную комбинацию 5-функции и ее производных.

Наконец, чтобы найти cW для произвольного k, можно снова воспользоваться «понижающей» формулой (28). Мы получим:

«» = [(_ „5—1 (р, +

и

При этом числовой коэффициент 6р>в равен (—I)2, когда р и q — четные числа.

Выражение для функции a<fe> можно получить также из

следующих соображений. Так как с_\= выч. Р+ есть

2] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 329

\ о

Ф(Х, «) = 1т I (i-ox+fc/a лед

т. е.

Г(Х+А+1)ГШ

Ф (X, в) = —--%Qg»K

4Г^Х + А + |-+1)

Функция Ф^—— /г, в^, через которую выражается

(aW, ср), есть свободный член лорановского разложения

функции Ф (X, в) в окрестности точки X = — ^ — к.

Рассмотрим для определенности случай, когда р и q — нечетные числа. Так как коэффициенты лорановского

Г(Х + Л + 1)гШ разложения функции —--^- в окрестности

Х = — ~ — k совпадают с коэффициентами лоранов-

Г(Х+1)Г(|)

ского разложения функции ——.—:-— в окрестности

r(x + !+i)

¦-9. то

Коэффициент ск> Рг q может быть найден из выражения (41), если в это выражение подставить какую-нибудь фиксированную функцию.

Возьмем функцию ср, имеющую вблизи начала координат следующий вид:

*(*) = (*•-+- ... ••• -*P+q)k-

Тогда, как показывают выражения (6) и (8), функция фх (и, to) имеет в окрестности точки и = О вид

^(в, fe) = a,Qee*(l— о*. Следовательно, согласно формуле (11),

(»<»>, ,)-,-«-') - (t(|)-t(f)). (45)

330 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2

^(¦№H(*)V

где р я q — нечетные числа.

Таким образом, коэффициент QP,q в формуле (44) для случая, когда р и q—нечетные числа, имеет вид

3

Итак, если размерность пространства п — четное число, причем р и q — также четные числа, то функция Р\ имеет в точке X — — --я (fe = 0, 1, простой полюс с вычетом

выч. Р+ —

Х-

где

где коэффициент -к определяется формулой (42). Формула (41) даст нам:

Г|

С другой стороны,

(«(*>, ?)=*ъжв/>*<р(*)|в_0.

Согласно формуле (25), применяемой k раз,

P*9(x) = 2»*!(^)(jH-l)...(^H-*-l). (46) Сравнивая выражения (45) и (46), получим:

2] § 2. ФУНКЦИИ, СВЯЗАННЫЕ С КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМОЙ 331

Г(т+*)

(-^"'(¦(fHW)

22**!г(| + а)

где ф (х) — пси-функция: ф (л:) = Г ^ ' .

Наряду с функцией Р+ можно определить также функцию РХ- согласно формуле

. (Рх_, <?)= f (—P)x9dx. (47)

-Р> о

Все сказанное выше по поводу функции Р+ остается справедливым и для функции Р\; следует лишь поменять ролями числа р и q. При этом в написанных выше формулах заменится на S<fc>(_P) = (—l)fe8(2fe)(P).

Если же р и q —- нечетные числа, то в точке X = =— ~ — k функция Р+ имеет полюс кратности 2.

Коэффициенты с^\ и С-1 разложения функции Р+ в ряд Лорана
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed